WikiDer > Принцип равномерной ограниченности
В математика, то принцип равномерной ограниченности или же Теорема Банаха – Штейнгауза один из фундаментальных результатов функциональный анализ. Вместе с Теорема Хана – Банаха и теорема об открытом отображении, считается одним из краеугольных камней отрасли. В своей основной форме он утверждает, что для семьи непрерывные линейные операторы (и, следовательно, ограниченные операторы), область определения которых Банахово пространство, точечная ограниченность равносильна равномерной ограниченности в норма оператора.
Теорема была впервые опубликована в 1927 г. Стефан Банах и Хьюго Штайнхаус, но это было также независимо доказано Ганс Хан.
Теорема
Принцип равномерной ограниченности — Позволять Икс быть Банахово пространство и Y а нормированное векторное пространство. Предположим, что F представляет собой набор непрерывных линейных операторов из Икс к Y. Если
для всех Икс ∈ Икс, тогда
Полнота Икс позволяет следующее короткое доказательство, используя Теорема Бэра о категории.
Доказательство |
---|
Позволять Икс быть банаховым пространством. Предположим, что для каждого Икс ∈ Икс, Для каждого целого числа , позволять Каждый набор это закрытый набор и по предположению Посредством Теорема Бэра о категории для непустого полное метрическое пространство Икс, есть некоторые м такой, что имеет непустой интерьер; то есть существуют и ε> 0 такой, что Позволять ты ∈ Икс с ǁтыǁ ≤ 1 и Т ∈ F. У одного есть это: Принимая супремум ты в единичном шареИкс и более Т ∈ F следует, что |
Существуют также простые доказательства, не использующие теорему Бэра (Сокаль 2011).
Следствия
Следствие — Если последовательность ограниченных операторов (Тп) сходится поточечно, т. е. предел { Тп(Икс) } существует для всех Икс ∈ Икс, то эти поточечные пределы определяют ограниченный оператор Т.
Приведенное выше следствие делает нет утверждают, что Тп сходится к Т по операторной норме, т.е. равномерно на ограниченных множествах. Однако, поскольку { Тп } ограничена по операторной норме, а предельный оператор Т непрерывна, стандартная Оценка "3-е" показывает, что Тп сходится к Т равномерно на компактный наборы.
Следствие — Любое слабо ограниченное подмножество S в нормированном пространстве Y ограничено.
Действительно, элементы S определяют поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных форм на банаховом пространстве Икс = Y *, непрерывное двойственное Y. По принципу равномерной ограниченности нормы элементов S, как функционалы на Икс, то есть нормы во втором дуальном Д **, ограничены. Но для каждого s ∈ S, норма во втором двойственном совпадает с нормой в Y, вследствие Теорема Хана – Банаха.
Позволять L(Икс, Y) обозначим непрерывные операторы из Икс к Y, с операторной нормой. Если коллекция F неограничен в L(Икс, Y), то по принципу равномерной ограниченности имеем:
Фактически, р плотно в Икс. Дополнение р в Икс является счетным объединением замкнутых множеств ∪ Иксп. Судя по аргументам, использованным при доказательстве теоремы, каждый Иксп является нигде не плотный, т.е. подмножество ∪ Иксп является первой категории. Следовательно р является дополнением к подмножеству первой категории в пространстве Бэра. По определению пространства Бэра такие множества (называемые остаточные множества) плотные. Такое рассуждение приводит к принцип уплотнения особенностей, который можно сформулировать следующим образом:
Теорема — Позволять Икс быть банаховым пространством, { Yп } последовательность нормированных векторных пространств, и Fп неограниченная семья в L(Икс, Yп). Тогда набор
является остаточным множеством и поэтому плотно в Икс.
Доказательство |
---|
Дополнение р это счетное объединение комплектов первой категории. Следовательно, его остаточное множество р плотный. |
Пример: поточечная сходимость ряда Фурье
Позволять быть круг, и разреши - банахово пространство непрерывных функций на с единая норма. Используя принцип равномерной ограниченности, можно показать, что существует элемент в для которых ряд Фурье поточечно не сходится.
За это Ряд Фурье определяется
и N-я симметричная частичная сумма равна
куда DN это N-й Ядро Дирихле. Исправить и рассмотрим сходимость {SN(ж)(Икс)}. Функционал определяется
ограничено. Норма φN,Икс, в двойном , - норма подписанной меры (2π)−1DN(Икс−т) dт, а именно
Можно убедиться, что
Итак, коллекция {φN,Икс } неограничен в двойник Следовательно, по принципу равномерной ограниченности для любого множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится в Икс плотно в
К большему выводу можно прийти, применив принцип уплотнения сингулярностей. Позволять { Иксм } - плотная последовательность в Определять φN,Иксм аналогично тому, как описано выше. Тогда принцип уплотнения особенностей гласит, что множество непрерывных функций, ряд Фурье которых расходится на каждом Иксм плотно в (однако ряд Фурье непрерывной функции ж сходится к ж(Икс) почти для каждого , к Теорема Карлесона).
Обобщения
Наименее ограничивающая установка для принципа равномерной ограниченности - это ствольное пространство где имеет место следующий обобщенный вариант теоремы (Бурбаки 1987, Теорема III.2.1) :
Теорема — Учитывая бочкообразное пространство Икс и локально выпуклое пространство Y, то любое семейство поточечно ограниченных непрерывные линейные отображения из Икс к Y является равностепенный (четное равномерно равностепенно непрерывный).
В качестве альтернативы утверждение также верно всякий раз, Икс это Пространство Бэра и Y является локально выпуклым пространством.[1]
Дьедонне (1970) доказывает более слабую форму этой теоремы с Пространства фреше а не обычные банаховы пространства. Конкретно,
Теорема — Позволять Икс быть пространством Фреше, Y нормированное пространство, и ЧАС набор непрерывных линейных отображений Икс в Y. Если для каждого Икс ∈ Икс,
тогда семья ЧАС равностепенно непрерывно.
Смотрите также
- Бочковое пространство - Топологическое векторное пространство с почти минимальными требованиями для выполнения теоремы Банаха – Штейнгауза.
- Теорема Урсеску - Теорема, которая одновременно обобщает замкнутый график, открытое отображение и теоремы Банаха – Штейнгауза.
Цитаты
Библиография
- Банах, Стефан; Штайнхаус, Гюго (1927), "Sur le principe de la Concation de Singularités" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50–61, Дои:10.4064 / fm-9-1-50-61. (На французском)
- Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1. Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-01-11. Получено 2020-07-11.
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 [Sur определенных пространств векторной топологии]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Перевод Eggleston, H.G .; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
- Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе, Том 2, Academic Press.
- Хусейн, Такдир; Халилулла, С. М. (1978). Написано в берлинском Гейдельберге. Бочность в топологических и упорядоченных векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 692. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
- Халилулла, С. М. (1982). Написано в берлинском Гейдельберге. Контрпримеры в топологических векторных пространствах. Конспект лекций по математике. 936. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
- Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Рудин, Вальтер (1966), Реальный и комплексный анализ, Макгроу-Хилл.
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Штерн, А. (2001) [1994], «Принцип равномерной ограниченности», Энциклопедия математики, EMS Press.
- Сокал, Алан (2011), «Действительно простое элементарное доказательство теоремы о равномерной ограниченности», Амер. Математика. Ежемесячно, 118 (5): 450–452, arXiv:1005.1585, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.118.05.450, S2CID 41853641.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.