WikiDer > Унитарный оператор
В функциональный анализ, филиал математика, а унитарный оператор это сюръективный ограниченный оператор на Гильбертово пространство сохранение внутренний продукт. Унитарные операторы обычно рассматриваются как операционные на гильбертово пространство, но это же понятие служит для определения концепции изоморфизм между Гильбертовые пространства.
А унитарный элемент является обобщением унитарного оператора. В унитальная алгебра, элемент U алгебры называется унитарным элементом, если U*U = UU* = я,куда я является элементом идентичности.[1]
Определение
Определение 1. А унитарный оператор это ограниченный линейный оператор U : ЧАС → ЧАС в гильбертовом пространстве ЧАС это удовлетворяет U*U = UU* = я, куда U* это прилегающий из U, и я : ЧАС → ЧАС это личность оператор.
Более слабое состояние U*U = я определяет изометрия. Другое условие, UU* = я, определяет коизометрия. Таким образом, унитарный оператор - это ограниченный линейный оператор, который одновременно является изометрией и коизометрией,[2] или, что то же самое, сюръективный изометрия.[3]
Эквивалентное определение следующее:
Определение 2. А унитарный оператор - линейный ограниченный оператор U : ЧАС → ЧАС в гильбертовом пространстве ЧАС для которых справедливо следующее:
- U является сюръективный, и
- U сохраняет внутренний продукт гильбертова пространства, ЧАС. Другими словами, для всех векторов Икс и у в ЧАС у нас есть:
Понятие изоморфизма в категория из гильбертовых пространств захватывается, если домен и диапазон могут отличаться в этом определении. Изометрии сохраняют Последовательности Коши, следовательно полнота свойство гильбертовых пространств сохраняется[4]
Следующее, казалось бы, более слабое определение также эквивалентно:
Определение 3. А унитарный оператор - линейный ограниченный оператор U : ЧАС → ЧАС в гильбертовом пространстве ЧАС для которых справедливо следующее:
- диапазон U является плотный в ЧАС, и
- U сохраняет скалярное произведение гильбертова пространства, ЧАС. Другими словами, для всех векторов Икс и у в ЧАС у нас есть:
Чтобы убедиться, что определения 1 и 3 эквивалентны, обратите внимание, что U сохранение внутреннего продукта подразумевает U является изометрия (таким образом, ограниченный линейный оператор). Дело в том, что U имеет плотный диапазон, гарантирует, что он имеет ограниченный обратный U−1. Ясно, что U−1 = U*.
Таким образом, унитарные операторы просто автоморфизмы гильбертовых пространств, т.е. они сохраняют структуру (в данном случае линейную структуру пространства, скалярное произведение и, следовательно, топология) пространства, на котором они действуют. В группа всех унитарных операторов из данного гильбертова пространства ЧАС сам по себе иногда называют Группа гильберта из ЧАС, обозначенный Хильб (ЧАС) или же U(ЧАС).
Примеры
- В функция идентичности тривиально является унитарным оператором.
- Вращения в р2 являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Вращения не изменяют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до р3.
- На векторное пространство C из сложные числа, умножение на число абсолютная величина 1, то есть число вида еiθ за θ ∈ р, - унитарный оператор. θ называется фазой, а это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение θ по модулю 2π не влияет на результат умножения, поэтому независимые унитарные операторы на C параметризованы кружком. Соответствующая группа, представляющая собой круг, называется U (1).
- В более общем смысле, унитарные матрицы являются в точности унитарными операторами на конечномерных Гильбертовы пространства, поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы являются частным случаем унитарных матриц, в которых все элементы действительны. Они являются унитарными операторами на рп.
- В двусторонний сдвиг на пространство последовательности ℓ2 индексируется целые числа унитарен. В общем, любой оператор в гильбертовом пространстве, действующий путем перестановки ортонормированный базис унитарен. В конечномерном случае такими операторами являются матрицы перестановок.
- В односторонний сдвиг (сдвиг вправо) - изометрия; его сопряжение (сдвиг влево) - коизометрия.
- В Оператор Фурье - унитарный оператор, т.е. оператор, выполняющий преобразование Фурье (с правильной нормализацией). Это следует из Теорема Парсеваля.
- Унитарные операторы используются в унитарные представления.
- Квантовые логические ворота являются унитарными операторами. Не все ворота Эрмитский.
Линейность
Требование линейности в определении унитарного оператора можно отбросить без изменения смысла, поскольку оно может быть выведено из линейности и положительной определенности оператора скалярное произведение:
Аналогично вы получаете
Характеристики
- В спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. То есть для любого комплексного числа λ в спектре |λ| = 1. Это можно рассматривать как следствие спектральная теорема за нормальные операторы. По теореме U унитарно эквивалентно умножению на измеримое по Борелю ж на L2(μ), для некоторого пространства конечной меры (Икс, μ). Сейчас же UU* = я подразумевает |ж(Икс)|2 = 1, μ-a.e. Это показывает, что существенный диапазон ж, поэтому спектр U, лежит на единичной окружности.
- Линейное отображение унитарно, если оно сюръективно и изометрично. (Использовать Поляризационная идентичность чтобы показать только если часть.)
Смотрите также
Сноски
- ^ Доран и Белфи 1986, п. 55
- ^ Халмос 1982, Разд. 127, стр. 69
- ^ Конвей 1990, Предложение I.5.2
- ^ Конвей 1990, Определение I.5.1
Рекомендации
- Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Доран, Роберт С .; Белфи (1986). Характеризации C * -алгебр: теоремы Гельфанда - Наймарка. Нью-Йорк: Марсель Деккер. ISBN 0-8247-7569-4.CS1 maint: ref = harv (связь)
- Халмос, Пол (1982). Проблемная книга гильбертова пространства. Тексты для выпускников по математике. 19 (2-е изд.). Springer Verlag. ISBN 978-0387906850.
- Ланг, Серж (1972). Дифференциальные коллекторы. Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 978-0387961132.