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Das Maßtheorie ist der Teilbereich der Mathematik das verallgemeinert die elementaren Maßbegriffe (Länge, Fläche und Volumen), so dass noch komplexere Kollektionen als das von 'normal' Punkte in einem Platz ein messen verliehen werden kann. In der Maßtheorie ist der is Lebesgue-Integration die theoretische Grundlage für die Wahrscheinlichkeit und der Integralrechnung. Zum Beispiel ist dank der Maßtheorie die Erwartung von a stochastische Variable verstanden werden als Integral- von einem messbaren Funktion.

Ausgangspunkt ist eine strikte Abgrenzung des Studiengebietes anhand der axiomatische Mengenlehre. In dem Banach-Tarski-Paradoxon es wird deutlich, wie eine naive Auffassung des Begriffs "Maß einer Menge" bestraft wird. Das MathematikerStefan Banach und Alfred Tarskic zeigte, dass aus einer naiven Auffassung des Begriffs "Volumen" (Maß im ${displaystyle n}$-dimensionaler realer Raum) folgt, dass alle Körper das gleiche Volumen haben.

Messbarer Raum

EIN messbarer Raum besteht aus einem zufälligen Sammlung${Anzeigestil X}$, zusammen mit a σ-Algebra${displaystyle {mathcal {F}}}$ von Teilmengen von ${Anzeigestil X}$. (In der französischen Literatur spricht man von Stamm ("Tribu")).

Die Elemente von ${displaystyle {mathcal {F}}}$ heißt der messbare Teilmengen von ${Anzeigestil X}$. Natürlich auf dem gleichen Träger ${Anzeigestil X}$ normalerweise wird mehr als ein messbarer Raum definiert, daher hängt der Begriff der "messbaren Menge" gleichermaßen von der Wahl von . ab ${displaystyle {mathcal {F}}}$.

Die erforderliche Struktur der σ-Algebra für die messbaren Mengen erlaubt a messen zu diesen Mengen, die geeignete Eigenschaften hat.

Beispiele

Sie ${Anzeigestil X}$ jede Sammlung. Aus den drei definierenden Eigenschaften einer σ-Algebra folgt, dass jede σ-Algebra mindestens die leere Menge und die Menge ${Anzeigestil X}$ enthält sich selbst. Das Ehepaar ${displaystyle {varnothing ,X}}$ ist auch immer eine σ-Algebra auf ${Anzeigestil X}$, die manchmal indiskreter Stamm heiß. Der indiskrete Stamm ist die kleinstmögliche σ-Algebra auf einer Menge ${Anzeigestil X}$; jede andere σ-Algebra enthält diesen indiskreten Stamm.

Das Stromsammlung${Displaystil 2^{X}}$, d. h. die Menge aller Teilmengen von ${Anzeigestil X,}$ bildet eine σ-Algebra auf ${Anzeigestil X}$ welches manchmal de diskreter Stamm Anrufe. Der diskrete Stamm ist die größtmögliche σ-Algebra auf einer Menge ${Anzeigestil X}$ in dem Sinne, dass sie jede andere σ-Algebra umfasst.

Sie ${displaystyle {mathcal {C}}Teilmenge 2^{X}}$ jede Sammlung von Teilmengen von ${Anzeigestil X.}$ Die Menge aller σ-Algebren auf ${Anzeigestil X}$ Das ${displaystyle {mathcal {C}}}$ include ist nicht leer, weil es den diskreten Stamm enthält, und der Schnittpunkt all dieser σ-Algebren ist wieder eine σ-Algebra auf ${Anzeigestil X}$. Dieser Schnitt heißt σ-Algebra hervorgebracht durch ${displaystyle {mathcal {C}},}$ bemerkt ${displaystyle sigma({mathcal {C}}).}$

Sie ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum. Die Tür ${displaystyle {mathcal {T}}}$ erzeugte σ-Algebra ${displaystyle sigma({mathcal {T}})}$ heißt der borelstam von ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation

In dem Wahrscheinlichkeit können ${Anzeigestil X}$ als Sammlung aller erdenklichen Welten interpretiert werden. Eine messbare Sammlung ${Anzeigestil A}$, Teilmenge von ${Anzeigestil X}$, ist dann eine 'logische Aussage', die in manchen Welten wahr, in anderen falsch ist. Etwas weniger abstrakt, kann ${Anzeigestil X}$ werden als die angesehen Ergebnisraum in einem Wahrscheinlichkeitsexperiment. Eine messbare Sammlung ${Anzeigestil A}$ heißt a Veranstaltung (messbare Teilmenge des Ergebnisraums ${Anzeigestil X}$) die mit einem bestimmten verbunden sind Gelegenheit (das messen von ${Anzeigestil A}$) auftreten, was bedeutet, dass das Ergebnis des Wahrscheinlichkeitsexperiments ein Element von . enthält ${Anzeigestil A}$ ist.

Messbare Funktion

Eine Funktion zwischen zwei Trägern von messbaren Räumen heißt a messbare Funktion wenn sie die Struktur der σ-Algebren respektiert, genauer gesagt, wenn das vollständige Original jeder messbaren Menge auch messbar ist.

Messen

EIN messen ist ein Funktion${displaystyle m}$ die jeder messbaren Menge eine nicht-negative reelle Zahl oder den Wert von Unendlich zuweist, in einer Weise, die der Struktur von folgt ${displaystyle {mathcal {F}}}$ Respekt:

1. Das leere Sammlung (was übrigens immer messbar ist) hat Maß Null: ${displaystyle m(varnothing)=0.}$
2. Additiv: Für alle zwei zusammenhangslos messbare Sammlungen ${Displaystil A_{1}}$ und ${Displaystil A_{2}}$ ist ihre größe Verband gleich der Summe ihrer Maßnahmen: ${displaystyle m(A_{1}cup A_{2})=m(A_{1}) m(A_{2})}$.
3. σ-Additivität: Für eine Reihe in Paaren zusammenhangslos messbare Sammlungen ${Displaystil A_{1},A_{2},ldots}$ ist das Maß ihrer Vereinigung gleich der Summe der Serie der einzelnen Größen:

${displaystyle mleft( igcup _{i=1}^{infty }A_{i}ight)=sum _{i=1}^{infty }m(A_{i})}$.

Es besteht Einigkeit darüber, dass eine Summe, von der mindestens ein Term unendlich ist, unendlich ist.

Beachten Sie, dass Bedingung 2 ein Sonderfall von Bedingung 3 ist.

der Dreier ${displaystyle (X,{mathcal {F}},m)}$ heißt a Raum messen.

EIN Nullmenge ist eine Sammlung von Maß Null. Es kann durchaus Nullmengen geben, die dies nicht tun leer sein, und sogar unzählbar haben viele Elemente.

Die Wahrscheinlichkeit basiert auf einem endlichen Maß, das auf die gesamte Menge passt ${Anzeigestil X}$ das Maß (Wahrscheinlichkeit) weist 1. Als messbare Sammlung ${Anzeigestil A}$ stellt eine logische Aussage dar ${Anzeigestil m(A)}$ die Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage wahr ist.

Lebesgue-Integral

Für die reellen Zahlen, ausgestattet mit seinem gewöhnlichen Topologie, ist die Borel-Spannung die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle enthält. Das borelmaat ordnet jedem Intervall seine Länge zu.

Das resultierende Raum messen ist unvollständig. Das lebesgue stamm ist die kleinste vollständige Erweiterung des Borel-Stammes. Das Borel-Maß lässt sich eindeutig auf den gesamten Lebesgue-Stamm ausdehnen und heißt dann lebesgue kamerad.

Auf Maßräumen wird für einige messbare Funktionen vom Maßraum bis zu den reellen Zahlen (mit dem Lebesgue-Stamm) ein abstrakter integraler Begriff definiert. Im Spezialfall reellwertiger Funktionen auf den reellen Zahlen ist die lebesgue integral.

Stochastische Variable

EIN stochastische Variable ist eine messbare Funktion eines Wahrscheinlichkeitsraums zu den reellen Zahlen (mit dem Lebesgue-Stamm). Wenn die Funktion Lebesgue-integrierbar ist, heißt sie das Integral de Erwartung der stochastischen Variablen. Oftmals wird die Forderung „messbar“ nicht explizit genannt – ggf. wird die betreffende σ-Algebra erweitert, um alle interessanten stochastischen Variablen messbar zu machen.