WikiDer > Kategorie der Vektorräume

In dem Lineare Algebra und der Kategorientheorie, eine Unterregion der Mathematik, hat die KategorieK-Vect (einige Autoren schreiben Vektor_k) alle Vektorräume über eine feste Körper (Ned) / Feld (Be)${Anzeigestil K}$ wenn Objekte und ${Anzeigestil K}$-lineare Transformationen wenn Morphismen. wenn ${Anzeigestil K}$ der Körper des reale Nummern dann ist die Kategorie auch bekannt als Vec.

Da Vektorräume über ${Anzeigestil K}$ (als Körper/Feld) gleich sein wie Module über die Ring${Anzeigestil K,}$ ist K-Vect ein Sonderfall von R-Mod, die Kategorie der Linken ${Anzeigestil R}$Module. K-Vect ist ein wichtiges Beispiel für a abelsche Kategorie.

Ein großer Teil der Lineare Algebra bezieht sich auf die Beschreibung von K-Vect. Das Dimensionssatz für Vektorräume sagt zum Beispiel, dass die Isomorphismusklassen im K-Vect stimmt genau mit dem überein Kardinalzahlen, und das K-VectÄquivalent ist mit dem Unterkategorie von K-Vect, also wenn Objekte die freien Vektorräume sind ${Anzeigestil K^{n}}$ hat, in dem ${displaystyle n}$ ist eine beliebige Kardinalzahl.

Da ist ein vergesslicher Funktor von K-Vect zu ab, das Kategorie der abelschen Gruppen, die jeden Vektorraum in seine additive Gruppe bringt. Dies kann mit den Vergesslichkeitsfunktoren aus ab andere vergessliche Funktoren erkennen, von denen der wichtigste einer ist Kategorie der Sammlungen.

K-Vect ist ein monoide Kategorie mit ${Anzeigestil K}$ (als eindimensionaler Vektorraum über ${Anzeigestil K}$) wenn die Identität und die Tensorprodukt als monoides Produkt.