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Die blauen Punkte bilden eine Cauchy-Reihe, die zwischen den beiden aufeinander zukriechenden roten Linien oszilliert

EIN cauchyrij, oder Grundreihe, ist in der Mathematik ein Warteschlange für die gilt, dass, wenn man sich in der Reihe weiterbewegt, die Elemente der Reihe zufällig nahe aneinander kommen. Intuitiv scheint dies zu bedeuten, dass die Reihe konvergiert zu einer Grenzwert. Dies ist definitionsgemäß nicht bei jeder Cauchy-Folge der Fall, da der Punkt, an dem die Folge zu konvergieren scheint, nicht zu der betreffenden Menge gehören muss. Cauchy-Reihen sind sozusagen die Konvergenzkandidaten.

Die Cauchy-Reihe ist nach dem französischen Mathematiker benannt Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

Definition

Eine Cauchy-Reihe in a metrischer Raum${Anzeigestil V}$ mit Fernbedienungsfunktion oder metrisch ${displaystyle d}$ ist eine reihe ${displaystyle (x_{n})_{ngeq 1}=(x_{1},x_{2},x_{3},ldots)}$ im ${Anzeigestil V}$, die folgende Bedingung erfüllt:

Für jedes reelle Zahl${Displaystil-Varepsilon >0}$ existiert einer? natürliche Zahl${Displaystil N}$ so dass für alle natürlichen Zahlen ${displaystyle n}$ und ${displaystyle m}$ die sind größer als ${Displaystil N}$, zählt das ${displaystyle d(x_{n},x_{m})$.

Diese Definition sagt in Worten, wie klein ${Anzeigestil Varepsilon }$ gewählt wird, gibt es in der Reihe immer einen Punkt, von dem aus der Abstand zwischen zwei beliebigen Elementen immer kleiner ist als ${Anzeigestil Varepsilon }$.

jeder konvergent Reihe ist eine Cauchy-Reihe und jede Cauchy-Reihe ist begrenzt.

Beispiel für eine Zeile, die keine Cauchy-Zeile ist

Für eine Cauchy-Folge ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Elementen als Punkte in ${Anzeigestil V}$, als Grenzwert 0, dies ist jedoch keine hinreichende Bedingung, um eine Cauchy-Sequenz zu sein, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt.

Für die Reihe mit ${displaystyle x_{n}=Summe _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}}$ gilt ${displaystyle x_{n}-x_{n-1}={frac {1}{n}};{xrightarrow[{n o infty }]{ }} 0}$

Die Reihe ist jedoch keine Cauchy-Reihe, da ${displaystyle |x_{n m}-x_{n}|=summe _{k=n 1}^{n m}{frac {1}{k}}geq {frac {m}{n m}}}$,

also wie groß ${displaystyle n}$ zu gegebener Zeit ${Displaystil-Varepsilon <1}$ gewählt wird, gibt es immer ein ${displaystyle m}$ um was zu finden ${displaystyle {frac {m}{n m}}>varepsilon}$.

Für die Elemente ${displaystyle x_{n}}$ der Reihe gilt, dass für ausreichend große ${displaystyle n}$ größer werden als jede Zahl ${Anzeigestil L}$. Das Grenze der Reihe ${Anzeigestil (x_{n})}$ ist ${displaystyle infty }$.

Beispiel für eine nicht konvergente Cauchy-Reihe

Die Reihe ${displaystyle(x_{n})}$ ist definiert als sukzessive dezimale Näherungen von ${displaystyle {sqrt {2}}}$:

${displaystyle x_{n}=max{xin mathbb {Q} mid 10^{n}xin mathbb {N} ;x^{2}leq 2}}$

Die Reihe ist:

${displaystyle x_{0}=1}$

${displaystyle x_{1}=1{,}4}$

${displaystyle x_{2}=1{,}41}$

${displaystyle x_{3}=1{,}414}$

${displaystyle x_{4}=1{,}4142}$

${displaystyle x_{5}=1{,}41421}$

${displaystyle x_{6}=1{,}414213}$

und so weiter.

Die Reihe ${displaystyle(x_{n})}$ ist eine Cauchy-Sequenz mit Elementen in elements ${displaystyle mathbb {Q} }$. Im ${displaystyle mathbb {R} }$ konvergiert ${displaystyle x_{n}}$ zu ${displaystyle {sqrt {2}}}$, aber in ${displaystyle mathbb {Q} }$ ist ${displaystyle(x_{n})}$ nicht konvergent. ${displaystyle {sqrt {2}}}$ ist kein Element von ${displaystyle mathbb {Q} }$.^[1] Nicht jede Cauchy-Reihe ist in ${displaystyle mathbb {Q} }$ also konvergent.

Vollständiger metrischer Raum

Der Begriff der Cauchy-Reihe spielt eine Rolle bei der Definition eines vollständigen metrischen Raums. In jedem metrischen Raum ist jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge. Ein metrischer Raum ${Anzeigestil V}$ wird völlig aufgerufen sowie umgekehrt jede Cauchy-Folge, die innerhalb dieser Menge definiert werden kann, konvergiert. Der zugehörige Grenzwert muss daher auch innerhalb dieses Sets liegen. Das bekannteste Beispiel dafür sind die reellen Zahlen. Die Sammlung ${displaystyle mathbb {R} }$ der reellen Zahlen ist der kleinste vollständige metrische Raum, der die Menge enthält ${displaystyle mathbb {Q} }$ des Rationale Zahlen enthält. Im ${displaystyle mathbb {R} }$ Jede Cauchy-Folge ist also konvergent.

Eine der Möglichkeiten, konstruiere reelle Zahlen aus rationalen Zahlen ist wie die sammlung Äquivalenzklassen von cauchy Reihen in ${displaystyle mathbb {Q} }$, wobei zwei Zeilen äquivalent sind, wenn ihre Differenz gegen 0 konvergiert.

Cauchy-Folge in einem topologischen Vektorraum

EIN topologischer Vektorraum ist reell oder komplex Vektorraum, ausgestattet mit a Topologie dass die Hausdorff-Eigenschaft und was die klassischen Vektoroperationen stetig macht.

Eine solche Topologie kommt nicht immer von a metrisch, dennoch kann das Konzept von cauchyrij verallgemeinert werden. Jeder topologische Vektorraum hat eine abzählbare . in jedem Punkt lokale Basis. Sie

${displaystyle {mathcal {B}}={B_{1},B_{2},ldots,B_{i},ldots}}$

so eine lokale Basis für die Nullvektor. Eine Reihe Vektoren

${displaystyle x_{1},x_{2},ldots ,x_{n},ldots}$

heißt cauchyrij, wenn es für jeden gibt ${Anzeigestil i}$ eine natürliche Zahl ${Displaystil N}$ existiert so, dass für alle natürlichen Zahlen ${displaystyle n}$ und ${displaystyle m}$ was größer ist als ${Displaystil N}$ sind, gilt das

${displaystyle x_{n}-x_{m}in B_{i}}$

Es ist nicht schwer zu zeigen, dass diese Definition unabhängig von der gewählten Abzählbasis ist.

Gleichwertigkeit der Definitionen

Eine Metrik auf einem topologischen Vektorraum heißt translationsinvariant, wenn sich die Abstände zwischen den Vektoren unter dem Einfluss einer beliebigen Verschiebung nicht ändern:

${Anzeigestil für alle x,y,Satz V:d(x,y)=d(x z,y z)}$

Wenn die Topologie von ${Anzeigestil V}$ von einer translationsinvarianten Metrik stammt, dann stimmt die "topologische" Definition einer Cauchy-Folge mit der "metrischen" Definition überein. Insbesondere haben alle unterschiedlichen translationsinvarianten Metriken, die denselben topologischen Vektorraum erzeugen, dieselben Cauchy-Reihen.