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Cayley Count der freien Gruppe mit zwei Urhebern ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$

In dem Mathematik ist ein Cayley Earl eine gezielte Anzahl zeigt die Struktur von a Gruppe, normalerweise eine endliche. Die Cayley-Zahl hängt von einer normalerweise endlichen Anzahl von Generatoren der Gruppe ab.

Der englische Mathematiker Arthur Cayley war der erste, der 1878 Graphen zur Visualisierung von Gruppen verwendete. Diese Idee war Max Dehn (1911), Otto Schreier (1927) und andere weiterentwickelt. Aufgrund von Dehns großem Beitrag ist ein Cayley Count auch als Dehns geprägter Name bekannt (Dehnse) Gruppendiagramm angegeben.^[1] Cayley-Diagramme sind heute ein wichtiges Werkzeug in der geometrische Gruppentheorie.

Definition

Gegeben sind eine Gruppe ${Anzeigestil G}$ und ein System ${Anzeigestil Ssubset G}$ der Urheber von ${Anzeigestil G}$. Der Cayley Earl ${Anzeigestil Gamma = Gamma (G, S)}$ des Paares ${Anzeigestil (G,S)}$ ist ein farbiges und gerichteter Graph die wie folgt aufgebaut ist:

• Zu jedem Element ${displaystyle Gin G}$ ein Knoten wird zugewiesen. Die Sammlung von Knöpfen ${Anzeigestil V(Gamma)}$ von ${Anzeigestil Gamma }$ wird mit ${Anzeigestil G}$ identifiziert.
• An jeden Produzenten ${displaystyle sinS}$ wird eine Farbe ${displaystyle c_{s}}$ ausgezeichnet.
• Für jedes ${displaystyle Gin G}$ und ${displaystyle sinS}$ werden die Knoten, die den Elementen zugeordnet sind ${displaystyle g}$ und ${displaystyle gs}$ gehören, verbunden durch eine gerichtete Seite mit der Farbe ${displaystyle c_{s}}$ des Urhebers. Die Sammlung von Schnürsenkeln ${Anzeigestil E(Gamma)}$ besteht aus den Paaren der Form ${Anzeigestil (g,gs)}$, in dem der Urheber ${displaystyle s}$ bestimmt die Farbe der Spitze.

In der geometrischen Gruppentheorie wird üblicherweise davon ausgegangen, dass die Menge der Generatoren ${Anzeigestil S}$ ist endlich, ist 'symmetrisch', was bedeutet, dass ${Anzeigestil S=S^{-1}}$, und enthält nicht das neutrale Element der Gruppe. In diesem Fall ist der Cayley-Graphen abgesehen von den Farben ein gewöhnlicher Graph: Die Kanten sind nicht orientiert und der Graph enthält keine Kreise.

Beispiele

Ein Cayley-Graphen der Diedergruppe ${displaystyle D_{4}}$

Ein weiterer Cayley Earl of ${displaystyle D_{4}}$

• Aus dem Unendlichen zyklische Gruppe${displaystyle mathbb {Z} }$ mit dem Standardgenerator 1 und seinem Inversen −1 (in additiver Notation) ist der zugehörige Cayley-Graphen eine unendliche Kette.

• Der Fall mit ${displaystyle G=mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$, die endliche zyklische Ordnungsgruppe ${displaystyle n}$, ähnelt dem vorherigen. Auch jetzt sind die Standardgeneratoren 1 und seine Umkehrung −1 und hat ${Anzeigestil S}$ zwei Elemente. Der Cayley-Graphen ist dann der zyklische Graph ${displaystyle C_{n}}$.

• Der Cayley Earl of the Direktprodukt einer Reihe von Gruppen ist es kartesisches Produkt der jeweiligen Cayley-Graphen. Der Cayley Earl of the freie abelsche Gruppe${displaystyle mathbb {Z} ^{2}}$ mit den 4 Machern ${Anzeigestil (pm 1, pm 1)}$ ist ein unendliches Gitter in der Ebene ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, während die Cayley zu den Direktprodukten zählen ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} imes mathbb {Z} /mmathbb {Z} }$ ist endlich ${Anzeigestil n imes m}$-Gitter auf dem torus.

• Die obere Abbildung zeigt den Cayley Count of the Diedergruppe${displaystyle D_{4}}$ mit zwei Vorfahren ${Anzeigestil a}$ (Drehung um 90° im Uhrzeigersinn) und ${displaystyle b}$ (horizontale Spiegelung). Schon seit ${displaystyle b}$ ist seine eigene Umkehrung, sind die blauen Seiten, die für die Ausführung stehen ${displaystyle b}$, unsigniert. Diese Wahl von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ entspricht dem Präsentation

${displaystyle langle a,b|a^{4}=b^{2}=e,ab=ba^{3}Winkel }$.

Die Beziehung zwischen der Gruppe und der Wahl der Generatoren spiegelt sich im Cayley-Graphen als Zyklen wider. Beispielsweise, ${Displaystil a^{4}}$ ein geschlossener Pfad im Graphen.

• Des kostenlose Gruppe mit zwei Vorfahren ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ steht der Cayley Graf mit dem Generatorsatz ${Anzeigestil S={a,b,a^{-1},b^{-1}}}$ weiter oben im Artikel, wo ${displaystyle e}$ steht für das neutrale Element. Eine Bewegung nach rechts auf einer Seite entspricht der rechten Multiplikation mit ${Anzeigestil a}$, während die Multiplikation mit hochgeht ${displaystyle b}$ schlägt vor. Da die freie Gruppe keine Beziehungen hat, gibt es keine Zyklen im Graphen.

Verweise