WikiDer > Clopen-Kollektion

In dem Topologie, Teil von dem Mathematik, heißt a Sammlung in einem topologischer Raumklopfen wenn diese Sammlung beides Öffnen wenn Geschlossen ist. Das Wort klopfen kommt aus dem Englischen, wo es a . ist Komposition ist von geschlossen (geschlossen) und Öffnen. Eine niederländische Variante dieses Begriffs ist eingeschlichen.

Beispiele

In jedem topologischen Raum ${Anzeigestil X}$ sind die leere Sammlung und das ganze Platz${Anzeigestil X}$ beide klonen.

Betrachten Sie nun den Raum ${Anzeigestil X}$ welches besteht aus dem Verband von zwei getrennten Intervalle von ${displaystyle mathbb {R} }$, zum Beispiel [0,1] und [2,3]. Das Topologie auf ${Anzeigestil X}$ wird wie Unterraumtopologie geerbt von der gewöhnlichen Topologie auf dem reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$. Im ${displaystyle mathbb {R} }$ ist die Menge [0,1], genau wie die Menge [2,3], klopfen. Dies ist ein typisches Beispiel: Immer wenn ein Raum auf diese Weise aus einer endlichen Zahl konstruiert wird zusammenhangslosverbunden Komponenten werden diese Komponenten geklont.

Ein weniger triviales Beispiel ist der Raum ${displaystyle mathbb {Q} }$ von allen Rationale Zahlen mit ihrer gemeinsamen Topologie und der Menge ${Anzeigestil A}$ aller positiven rationalen Zahlen, deren Quadrat größer als 2 ist. Unter Verwendung der Tatsache, dass die Quadratwurzel von 2 nicht in . ist ${displaystyle mathbb {Q} }$ das kann man ganz einfach zeigen ${Anzeigestil A}$ wenn Teilmenge von ${displaystyle mathbb {Q} }$ Klon. (Beachten Sie, dass ${Anzeigestil A}$ keine clopen-Teilmenge des reellen Zahlenstrahls ${displaystyle mathbb {R} }$ ist: ${Anzeigestil A}$ ist weder offen noch geschlossen ${displaystyle mathbb {R} }$.)

Einige Eigenschaften

• Ein topologischer Raum ${Anzeigestil X}$ ist kohärentdann und nur dann, wenn das einzige Clopen setzt die leere Menge und ${Anzeigestil X}$ sei du selbst.
• Eine Menge ist genau dann geschlossen, wenn die Kante ist leer.
• Jede Clopen-Kollektion ist ein is Verband von (möglicherweise unendlich viele) zugehörige Komponenten.
• Wenn alle zugehörigen Komponenten von ${Anzeigestil X}$ offen sein (z.B. wenn ${Anzeigestil X}$ nur endlich viele Komponenten hat, oder wenn ${Anzeigestil X}$lokal zusammenhängend ist), dann klopft eine Sammlung in ${Anzeigestil X}$ genau dann, wenn es sich um eine Vereinigung verwandter Komponenten handelt.
• Ein topologischer Raum ${Anzeigestil X}$ ist diskret genau dann, wenn alle seine Teilmengen clopen sind.