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Driehoek van Pascal

Animation der Konstruktion eines Dreiecks von Pascal. Jeder Koeffizient im Pascalschen Dreieck ist die Summe seiner beiden Elternkoeffizienten

Das Dreieck von Pascal^[1] ist eine Rangliste der Binomialkoeffizienten ${displaystyle { binom {n}{k}}}$ in Reihen zum Erhöhen ${displaystyle n}$ beginnen mit ${Anzeigestil n=0}$ und in jeder Zeile die ${displaystyle n1}$ Binomialkoeffizienten für die möglichen Werte von ${displaystyle k}$ , weglaufen von ${Anzeigestil 0}$ bis einschließlich ${displaystyle n}$ . In dem Dreieck drückt die Eigenschaft aus, dass jeder Binomialkoeffizient die Summe seiner beiden Eltern ist. Das Dreieck ist nach dem französischen Mathematiker benannt Blaise Pascal (1623 - 1662), der sie als erster berechnete.

Das Element ${Anzeigestil T(n,k)}$ im Einklang ${displaystyle n}$ auf der Stelle ${displaystyle k}$ ist deshalb:

{displaystyle T(n,k)={inom {n}{k}}}

,

vor dem ${Anzeigestil n=0,1,2,ldots}$ und ${Anzeigestil k=0,ldots,n}$ . Die Elemente können rekursiv definiert werden durch:

{Anzeigestil T(0,0)=1}

und

{Anzeigestil T(n,k)=T(n-1,k-1) T(n-1,k)}

Die Zahlen im Dreieck geben die Anzahl der Straßen von oben bis zur Position einer solchen Zahl an, was auch die diskutierte Eigenschaft erklärt. Da es immer 2 Möglichkeiten gibt, den Weg nach unten fortzusetzen, ist die Summe der Zahlen in einer Reihe die entsprechende Leistung ab 2.

										1
									1		1
								1		2		1
							1		3		3		1
						1		4		6		4		1
					1		5		10		10		5		1
				1		6		15		20		15		6		1
			1		7		21		35		35		21		7		1
		1		8		28		56		70		56		28		8		1
	1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1
Die ersten 11 Reihen des Pascal-Dreiecks

Das Dreieck ist kombinatorisch Natur und wurde von Pascal in dem unten genannten Problem in der Wahrscheinlichkeit beim Würfeln.

Übrigens ordnet Pascal die Zahlen des Dreiecks in einem rechteckigen Schema an:

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	3	6	10	15	21	28	36	45
1	4	10	20	35	56	84	120
1	5	15	35	70	126	210
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84	210
1	8	36	120
1	9	45
1	10
1

und nannte die Zahl am Schnittpunkt von Zeile i und Spalte j: ${displaystyle c_{ij}}$ , so dass

{displaystyle {n wählen k}=c_{n-k,k}}

und die besagte Eigenschaft ist:

{displaystyle c_{ij}=c_{i-1,j} c_{i,j-1}}

Pascal entwickelte das nach ihm benannte Zahlendreieck bei der Lösung des sogenannten. Problem der Partei, das Problem des abgebrochenen Spiels (Spiel).

Pascal nannte seine Entdeckung die Geometrie von hasard (Geometrie des Zufalls). Das Zahlendreieck als Figur war schon vor Jahrhunderten unter anderem von einigen bekannt Chinesisch Mathematiker, aber ihre Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitstheorie war Pascals Entdeckung.

Geschichte

Dreieck von Yang-Hui, beschrieben in einem Buch von Zhu Shijie im Jahr 1303

Pascal .s Version

Die früheste detaillierte Beschreibung eines Dreiecks von Binomialkoeffizienten erschien im 10. Jahrhundert in Kommentaren zu Chandas Shastra, ein indisches Buch über die Prosodie von Sanskrit, geschrieben von Pingala zwischen dem fünften und zweiten Jahrhundert v. Obwohl Pingalas Werk nur in Fragmenten überliefert ist, verwendete der Kommentator Halayudha das Dreieck um 975, um fragwürdige Beziehungen zu den Meru-prastaara, 'die Treppe des Mythologischen' Berg Meru. Es war auch bekannt, dass die Summe der ebenen Diagonalen des Dreiecks de Fibonacciaergibt Zahlen. Vom indischen Mathematiker Bhattotpala (um 1068) sind die ersten 17 Linien des Dreiecks überliefert.

Ungefähr zur gleichen Zeit wurde Pascals Dreieck in Persien behandelt von al-Karaji (953-1029) und Omar Khayyam, und ist daher in der Gegenwart Iran bekannt als das Dreieck von Khayyám. Es waren mehrere mathematische Aussagen über das Dreieck bekannt, darunter die Newtons Binomial. Es ist ziemlich sicher, dass Khayyām eine Methode verwendet hat, um ${displaystyle n}$ -Berechnen Sie die Potenzwurzel, die auf der Binomialentwicklung und damit auf den Binomialkoeffizienten basiert.

Die früheste chinesische Darstellung einer geometrischen Figur, die dem Pascalschen Dreieck entspricht, befindet sich im Buch von Yang HuiXiangjie Jiuzhang suanfa aus dem Jahr 1261, das fragmentarisch im Yongle-Enzyklopädie. ^[2] Yang schreibt darin das Dreieck von Jia Xian (ca. 1050) sowie li cheng shi shuo („Bestimmung von Koeffizienten nach einem Schema“) eine Methode zur Berechnung von Quadrat- und Kubikwurzeln ^[3]^[4]

Peter Apian veröffentlichte das Dreieck 1531-1532 auf dem Cover seines Buches über Handelsrechnungen, von dem eine frühere Version von 1527 den ersten schriftlichen Nachweis des Pascalschen Dreiecks in Europa liefert.

Veröffentlicht im Jahr 1655 Blaise Pascal das Buch Traité du Triangle Arithmetique ("Abhandlung über das geometrische Dreieck"), in der er mehrere Ergebnisse zum Dreieck zusammenstellte und zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeit lösen. Das Dreieck wurde später von Pierre Remond de Montmort (1708) und Abraham de Moivre (1730) benannt nach Pascal.

Eigenschaften

Dreieck von Sierpiński

Das Pascalsche Dreieck hat viele Eigenschaften:

Die Summe der Binomialkoeffizienten in Zeile ${displaystyle n}$ entspricht ${Anzeigestilsumme _{k=0}^{n}{ Binom {n}{k}}=(1 1)^{n}=2^{n}}$
Die Zahlen in einer Reihe bilden die Koeffizienten der Newtons Binomial
Wenn der Binomialkoeffizient ${displaystyle { binom {n}{1}}=n}$ im Einklang mit Index ${displaystyle n}$ Primzahl ist, sind alle Koeffizienten in dieser Zeile außer der 1 am Anfang und am Ende durch . teilbar ${displaystyle n}$ l. Beispiel: 1 7 21 35 35 21 7 1
Die Darstellung der ungeraden Zahlen im Dreieck als schwarzer Punkt erzeugt eine Figur mit a fraktal Struktur, die sogenannte Dreieck von Sierpiński.
Die ersten sechs Dreieckszahlen
Die Zahlenreihe parallel zu einer Seite des Dreiecks wird als Diagonale bezeichnet. Die erste Diagonale enthält nur Zahlen 1. Die zweite Diagonale enthält die natürlichen Zahlen. Die Zahlen auf der dritten Diagonale sind die Dreieckszahlen. Diese sind gleich

{Displaystyle T_{n}=T(n,2)=Summengrenzen _{i=1}^{n}i}

Auf der vierten Diagonale sind die Tetraederzahlen.

Die Fibonacci-Zahlen als Summe der Zahlen auf den roten Linien

Die Zahlen aus dem Fibonaccia-Folge erscheinen im Dreieck auch als Summe einer anderen Art von Diagonalen (siehe Abbildung).

Siehe auch

Teller von Galton (Quincunx)

Verweise

↑Siehe auch: Reihe A007318 im OEIS
↑Ho Peng Yoke Li, Qi und Shu, Eine Einführung in Wissenschaft und Zivilisation in China. Hong Kong University Press (1985), S. 97. ISBN 0-486-41445-0 .
↑George Gheverghese Joseph, Das Wappen des Pfaus. Außereuropäische Wurzeln der Mathematik, 3. Princeton University Press (2011), 247. ISBN 978-0-691-13526-7 .
↑Duan Yao-Yung, Kostas Nikolantonakis, Der Extraktionsalgorithmus in griechischen und chinesisch-indischen mathematischen Traditionen.. Birkhäuser. DOI:10.1007/978-0-8176-4695-0_11 (2011), 180–181. ISBN 978-0-8176-4695-0 .

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[1] Siehe auch: Reihe A007318 im OEIS

[2] Ho Peng Yoke Li, Qi und Shu, Eine Einführung in Wissenschaft und Zivilisation in China. Hong Kong University Press (1985), S. 97. ISBN 0-486-41445-0 .

[3] George Gheverghese Joseph, Das Wappen des Pfaus. Außereuropäische Wurzeln der Mathematik, 3. Princeton University Press (2011), 247. ISBN 978-0-691-13526-7 .

[4] Duan Yao-Yung, Kostas Nikolantonakis, Der Extraktionsalgorithmus in griechischen und chinesisch-indischen mathematischen Traditionen.. Birkhäuser. DOI:10.1007/978-0-8176-4695-0_11 (2011), 180–181. ISBN 978-0-8176-4695-0 .

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