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EIN Dynkin-System auf einem nicht leeren Sammlung ist in der Maßtheorie ein SammlungTeilmengen ähnlich wie a σ-Algebra. Dynkin-Systeme sind nach dem . benannt Russisch Mathematiker Eugene Borisovich Dynkin. Sie beziehen ihre Bedeutung aus der Anwendung, vor allem in der (Lebesgue-)Integralrechnung und der Wahrscheinlichkeit, des Satz von Dynkin,

Definition

Eine Sammlung von Teilmengen ${displaystyle {mathcal {D}}}$ einer nichtleeren Menge Ω heißt Dynkin-System, wenn folgende Eigenschaften auf das 'System' zutreffen ${displaystyle {mathcal {D}}}$:

• die Menge Ω selbst gehört zum System

${displaystyle Omega in {mathcal {D}}}$.

• das System ist unter relativer Komplementbildung abgeschlossen

${displaystyle A,Bin {mathcal {D}}{mbox{ und }}Asubseteq Bimplies Bsetminus Ain {mathcal {D}}}$

• das System ist unter Vereinigung aufsteigender Reihen geschlossen

${displaystyle {A_{n}}_{nin mathbb {N} }Untermenge {mathcal {D}}{mbox{ und }}A_{n}Untermenge A_{n 1}impliziert igcup _{nin mathbb {N} }A_ {n}in {mathcal {D}}}$

wenn ${displaystyle {mathcal {J}}}$ eine beliebige Menge von Teilmengen von ${Anzeigestil Omega}$ ist, dann ist die Überschneidung aller Dynkin-Systeme, die ${displaystyle {mathcal {J}}}$ ein Dynkin-System selbst enthalten. Wir nennen diesen Schnittpunkt das Dynkin-System, das erzeugt durch ${displaystyle {mathcal {J}}}$. Es ist auch der kleinste Dynkin-System, das ${displaystyle {mathcal {J}}}$ beinhaltet.

Das Stromsammlung von Ω ist immer ein Dynkin-System, also gibt es immer mindestens ein Dynkin-System, das ${displaystyle {mathcal {J}}}$ beinhaltet.

Ein Dynkin-System, das auch ein pi-System ist, ist ein Sigma-Algebra.

Theorem von Dynkin

wenn ${displaystyle {mathcal {C}}}$ ist eine Sammlung von Teilmengen von ${Anzeigestil Omega}$ die unter endlichem Wirkungsquerschnitt abgeschlossen ist, und ${displaystyle {mathcal {D}}}$ ein Dynkin-System, das ${displaystyle {mathcal {C}}}$ beinhaltet, dann beinhaltet ${displaystyle {mathcal {D}}}$ ebenfalls ${displaystyle sigma({mathcal {C}})}$, das Sigma-Algebra hervorgebracht von den Elementen von ${displaystyle {mathcal {C}}}$.