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Das Finite-Differenzen-Methode (Englisch: Finite-Differenzen-Methode) ist eine Methode im numerische Mathematik zu partielle Differentialgleichungen lösen. Die Methode besteht in den stetigen Koordinaten ${Anzeigestil x,y,z,t}$ zu diskretisieren indem Sie sie durch ein Gitter ersetzen ${Anzeigestil i,j,k,l}$ mit Größe ${displaystyle h}$ und die partiellen Differentiale ${displaystyle partielles U}$ durch endliche Unterschiede.

So geht's Laplace-Operator${displaystyle abla^{2}}$ in 3 Dimensionen angenähert als

${displaystyle abla ^{2}U={frac {partial ^{2}U}{partial x^{2}}} {frac {partial ^{2}U}{partial y^{2}}} {frac { teilweise ^{2}U}{ teilweise z^{2}}}}$

${displaystyle ca. {frac {1}{h^{2}}}({ frac {1}{6}}(U(i 1,j,k) U(i-1,j,k) U(i, j 1,k) U(i,j-1,k) U(i,j,k 1) U(i,j,k-1))-U(i,j,k))}$

Die zu lösenden partiellen Differentialgleichungen werden in drei Klassen eingeteilt: elliptische, parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen. Jede Art erfordert ihren eigenen Weg endliche Differenz.

Elliptisch

Elliptische Differentialgleichungen sind partielle Differentialgleichungen der Form Wellengleichung

${displaystyle abla ^{2}U=partial ^{2}U/partial t^{2}}$

Solche Gleichungen kommen in allen vor Wellen: Elektromagnetische Welle, Schallwelle, Oberflächenwelle (Fluiddynamik), seismische Welle, Rayleighgolf, Liebeswelle. So formuliert eignet sich der Vergleich noch nicht endliche Unterschiede, aber zu einem festen Pulsieren${displaystyle s}$ vereinfacht dies zu den Helmholtz-Gleichung:

${displaystyle abla ^{2}U=s^{2}U}$

Der eine mit endliche Unterschiede ist lösbar.

Ein Sonderfall ist der Giftgleichung:

${displaystyle abla ^{2}U=g(x,y,z,t)}$

g ist der Quellterm, zum Beispiel Ladung oder Strom. Das geht mit endliche Unterschiede.

Wenn der Quellterm null ist, ist die Gleichung von Laplace dies ist ein weiterer Sonderfall.

${displaystyle abla ^{2}U=0}$

Laplace-Gleichung von Potentialgleichung ist in der . üblich Elektrostatik und der Magnetostatik aber auch im Flüssigkeitsdynamik.

Eine gute Methode der endlichen Differenz für die obigen Fälle ist die Methode von Gauss-Seidel, der Einfachheit halber nur in 3 Dimensionen angegeben.

${Anzeigestil U(i,j,l)=(U(i-1,j,l) U(i 1,j,l-1) U(i,j 1,l-1) U(i,j 1 ,l-1))/4-h^{2}g(i,j,l)}$

Die Methode besteht darin, alle Punkte des kubischen Gitters nacheinander durchzugehen und jedes Mal die Formel (Entspannung). Die Randbedingung muss am Rand gelten. Dies ist oft ein fester Wert - oft Null - Eins Dirichlet-Randbedingung oder eine feste Ableitung - oft Null - Neumann-Randbedingung oder eine Kombination aus beidem Impedanz-Randbedingung. Das wird so oft wiederholt Wiederholung, bis keine Änderung mehr erfolgt und Konvergenz es gibt.

Eine Verbesserung der Geschwindigkeit liefert sukzessive Überentspannung:

${Anzeigestil U(i,j,l)=phi U(i,j,l)-(varphi-1)U(i,j,l-1)}$,

in welchem ${displaystyle varphi=1.618}$ das Goldener Schnitt ist.

Parabolisch

Parabolische Differentialgleichungen sind partielle Differentialgleichungen der Form der Diffusionsgleichung:

${displaystyle abla ^{2}U=teilweise U/teilweise t}$

Diffusionsgleichungen treten in Prozessen von . auf Diffusion: Wärme, Neutronen, Isotope.

Eine gute Methode der endlichen Differenz in einem solchen Fall ist die Methode von Kurbel-Nicholson, der Einfachheit halber nur in 2 Dimensionen angegeben:

${Anzeigestil U(i,l 1)=U(i-1,l 1)/2-U(i,l 1) U(i 1,l 1)/2 U(i-1,l)/2 U (ich 1,l)/2}$

Am Rand gilt natürlich wieder die Randbedingung des gegebenen Problems, beispielsweise bei Wärme eine Dirichlet-Bedingung für eine feste Temperaturkante oder eine Neumann-Bedingung für eine isolierte Kante ${Anzeigestil U(x,y,z,0)}$ zum Zeitpunkt 0 ermöglicht nun die sukzessive Anwendung der Formel, um zu späteren Zeitpunkten eine Näherung zu berechnen: ${Anzeigestil U(x,y,z,t)}$.

Hyperbolisch

Hyperbolische Differentialgleichungen sind partielle Differentialgleichungen der Form

${displaystyle abla ^{2}U=-partial ^{2}U/partial t^{2}}$

Solche Gleichungen treten in der Strömungsmechanik über Schallgeschwindigkeit. In der Tat, die Navier-Stokes-Gleichungen hyperbolisch werden. Es gibt in diesem Fall ein Verfahren von Lax, aber ein großes Problem für das Verfahren ist die Erzeugung von mehr oder weniger starken Stoßwellen. Es gibt spezielle Methoden, die einfach von den Stoßwellen ausgehen.