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Es geometrisches Mittel oder geometrisches Mittel von ${displaystyle n}$Zahlen erhält man durch Addition der Zahlen multiplizieren und dann das produkt ${displaystyle n}$-die MachtWurzel nehmen.

Vor dem ${Anzeigestil n=2}$ Synonyme werden auch verwendet durchschnittlich oder mittelproportional.

Definition

Es geometrisches Mittel${displaystyle m}$ des ${displaystyle n}$ positive Zahlen ${displaystyle a_{1},a_{2},ldots ,a_{n}}$ ist definiert als:

${displaystyle m={sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}ldots a_{n}}}=left(prod _{i=1}^{n}a_{i}ight)^{! 1/n}}$

Vor dem ${Anzeigestil n=2}$ es gilt also: ${displaystyle m^{2}=a_{1}a_{2}}$, so dass

${displaystyle {a_{1}}:m=m:{a_{2}}}$ oder ${displaystyle {{a_{1}} über m}={m über {a_{2}}}}$.

Beispiel

Der Kurs einer Aktie steigt im ersten Jahr um 10 % (Faktor 1,1), im zweiten Jahr um 20 % (Faktor 1,2) und fällt im dritten Jahr um 15 % (Faktor 0,85). Das geometrische Mittel dieser Ratenänderungen ist nun:

${displaystyle {sqrt[{3}]{1{,}1cdot 1{,}2cdot 0{,}85}}ungefähr 1{,}0391}$

Dies bedeutet, dass eine jährliche Kurssteigerung von 3,91 % über drei Jahre den gleichen Schlusskurs ergeben hätte.

Negative Zahlen

Funktionsgraph des geometrischen Mittels zweier Variablen. Wenn die beiden Variablen unterschiedliche Vorzeichen haben, ist der Mittelwert nicht als reelle Zahl definiert.

Da die Definition eine Quadratwurzel enthält, muss man bei negativen Zahlen vorsichtig sein. Zum Beispiel ist das geometrische Mittel zweier reeller Zahlen nur dann wohldefiniert (und einer positiven reellen Zahl), wenn beide Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. In praktischen Anwendungen wird das geometrische Mittel fast ausschließlich für positive Zahlen berechnet.

Bei positiven Zahlen ist das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel (eigentlich kleiner, es sei denn, alle Zahlen sind gleich). Dies lässt sich durch die Jensens Ungleichung sich bewerben konvex Funktion ${displaystyle xmapsto -log x}$. Das geometrische Mittel positiver Zahlen liegt zwischen der kleinsten und der größten Zahl in der Sammlung.

Interpretation

• Das geometrische Mittel sucht ein Gleichgewicht im Beziehungen zwischen Zahlen, da das arithmetische Mittel die Unterschiede. Genauer ausgedrückt (noch für positive Zahlen) wie folgt:

Das Logarithmus von dem geometrisch durchschnittlich ist es Arithmetik Mittelwert der einzelnen Logarithmen:

${displaystyle ln {sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}ldots a_{n}}}={ frac {1}{n}}ln {(a_{1}a_{2}ldots a_{ n})}={ frac {1}{n}}(ln a_{1} ln a_{2} ldots ln a_{n})}$

• In einem geometrische Folge jede Zahl ist das geometrische Mittel der vorherigen und nächsten Zahl.
• Das geometrische Mittel der Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ist der Maximalwert von ${Anzeigestil x}$ so, dass die Matrix${displaystyle { egin{bmatrix}a&x/x&bend{bmatrix}}}$positiv semidefinit das heißt, die bestimmend${displaystyle ab-x^{2}}$ dieser Matrix ist nicht negativ. Dies ist genau dann der Fall, wenn ${displaystyle x^{2}leq ab}$.

Geometrische Konstruktion

Geometrische Konstruktion für das geometrische Mittel zweier positiver Zahlen

Das geometrische Mittel hat seinen Namen von der folgenden geometrischen Konstruktion für den Mittelwert zweier positiver Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$. Zeichnen Sie auf der gleichen Linie ${Anzeigestil R}$ zwei verbindende Liniensegmente mit Längen ${Anzeigestil a}$ beziehungsweise ${displaystyle b}$ die sich an einem Punkt treffen ${Anzeigestil O}$. Zeichne den Kreis mit der Summe der beiden Liniensegmente als Durchmesser hast. Lassen Sie die Senkrechte zur Geraden ${Anzeigestil R}$ von diesem Punkt ${Anzeigestil O}$ auf ${Anzeigestil R}$ Schneiden Sie den Umfang des Kreises an einem Punkt ab ${Anzeigestil P}$. Dann ist die Länge des Segments ${Anzeigestil-OP}$ das geometrische Mittel von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$. Der Radius des Kreises ist das arithmetische Mittel von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$. Dies zeigt grafisch, dass das geometrische Mittel zweier Zahlen nicht größer ist als das arithmetische Mittel.

Eine andere geometrische Interpretation des geometrischen Mittels ${displaystyle {sqrt {ab}}}$ ist: es ist die seite davon Quadrat dessen Fläche gleich der des . ist Rechteck mit Seiten ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$.