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EIN geschlossener Betreiber oder vollständig geschlossener linearer Operator ist eine besondere Spezies lineare Transformation von a topologischer Vektorraum. Diese Transformationen werden in der Operatortheorie, ein Teil des Mathematikers Funktionsanalyse. Geschlossene Operatoren sind eine wichtige Unterstützung, wenn Kontinuität oder Einschränkung erweisen sich als zu streng.

Definition

spät V sei ein topologischer Vektorraum, und d ein linearer Unterraum von V. Ein lineares Bild

${Displaystil T:D oder V}$

heiß geschlossen wie sie Diagramm

${displaystyle left{(x,y)in V imes V|xin D, T(x)=yight}}$

ein geschlossene Teilmenge ist davon kartesisches Produkt${displaystyle V imes V,}$ ausgestattet mit dem Produkttopologie.

Lineare Karten zwischen topologischen Vektorräumen sind oft Betreiber genannt, daher der Name geschlossener Betreiber.

Rechenschaftspflicht

Fortsetzen lineare Transformationen von V sind per Definition geschlossen.

Weniger offensichtlich, aber genauso wahr ist die Satz des geschlossenen Graphen: wenn V ein Banach-Raum ist und t ist ein abgeschlossener Operator, dessen Definitionsbereich ist d=V der ganze raum dann t kontinuierlich.

Schließung

wenn t jede lineare Karte von d zu V ist, also nicht unbedingt abgeschlossen, betrachten wir die topologische Schließung aus dem Graphen von t im ${displaystyle V imes V.}$

Dies kann der Graph einer linearen Transformation sein oder nicht so Formen: Es ist nicht garantiert, dass bei jedem X noch ein Unikat so(X) Streichhölzer. Ist der Abschluss jedoch der Graph einer linearen Transformation, dann ist so ein abgeschlossener Operator und heißt so das Schließung von t. Der Betreiber t selbst heißt abschließbar.

Ein abgeschlossener Operator hat sich offensichtlich selbst als Abschluss.

wenn t ist ein sperrbarer Operator mit Domain d, und E ist ein Unterraum von d, dann die Einschränkung von t bis um E noch abschließbar. Wir nennen E ein Ader von t wenn die Schließung dieser Beschränkung gleich der Schließung von . ist E selbst.

Beispiel

Betrachten Sie den Banach-Raum ${displaystyle {mathcal {C}}[0,1]}$ von kontinuierlichen komplexwertige Funktionen auf der geschlossenen Einheitsintervall, Mit als Norm das Maximum des absoluten Wertes.

Unterscheiden einer Funktion ist eine lineare Operation, aber diese Operation kann nicht sinnvoll als stetige lineare Transformation des gesamten Raums definiert werden ${displaystyle {mathcal {C}}[0,1].}$

Betrachten Sie den Unterraum ${displaystyle D={mathcal {C}}^{1}[0,1]}$ der stetig differenzierbaren komplexwertigen Funktionen auf dem geschlossenen Einheitsintervall. Der Betreiber t die mit jeder Funktion in d assoziiert seine Ableitung ist ein abgeschlossener Operator in ${displaystyle {mathcal {C}}[0,1]}$.

Der kleinere Unterraum ${displaystyle {mathcal {C}}^{infty }[0,1]}$ (unbegrenzt stetig differenzierbare Funktionen) bildet einen Kern für t. Selbst der noch kleinere Unterraum des Polynomfunktionen ist ein Kern.

Der Betreiber t hat die zusätzliche interessante Eigenschaft, dass es dicht definiert d.h. sein Gebiet ist topologisch schließen ist in ${displaystyle {mathcal {C}}[0,1].}$