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EIN Differentialform ist ein Objekt von dem Geometrie. Es gibt Begriffen wie "orientiertVolumen von a Unterraum" oder "orientiert Integral- über einen Unterraum". Es verallgemeinert unter anderem:

• Leitungs- und Kreisintegral
• Fluss von a Vektorfeld durch ein Oberfläche, wie elektrischer Fluss in dem Physik.

Differentialformen leben im Allgemeinen weiter glatte Sorten, Jene sind geschwungene Räume von denen die Punkte kann lokal beschrieben werden mit Koordinaten. Dieser Artikel beginnt jedoch mit der Definition von Differentialformen auf dem ${displaystyle n}$-dimensionalRealEuklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$

Definition

Sie ${displaystyle k}$ ein natürliche Zahl. Es ${displaystyle k}$-falten externes Produkt von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit sich ist es antisymmetrischTensorprodukt, also ein Quotient des gewöhnlichen Tensorprodukts, bei dem einige Elemente miteinander oder mit ihren Gegensätzen identifiziert werden. Genauer gesagt, das antisymmetrische Tensorprodukt von bleibt ${displaystyle k}$ Vektoren unverändert unter einer geraden Permutation, und vertauscht das Vorzeichen unter einer ungeraden Permutation.

${displaystyle Lambda ^{k}(mathbb {R} ^{n})=otimes ^{k}(mathbb {R} ^{n})/leftlangle left{v_{1}otimes ldots otimes v_{n}-( -1)^{sigma }v_{sigma (1)}otimes ldots otimes v_{sigma (n)}|v_{1},ldots ,v_{n}in mathbb {R} ^{n},,sigma in S_ {k}ight}ightangle }$

Hier ist ${displaystyle S_{k}}$ das symmetrische Gruppe (Permutationsgruppe) ein ${displaystyle k}$ Elemente und ${Anzeigestil (-1)^{sigma}}$ ist 1 oder –1 je nach Permutation ${Displaystil-Sigma}$ ist gerade oder ungerade.

EIN homogene Differentialform von Rang ${displaystyle k,}$ Zusamenfassend ${displaystyle k}$-bilden, ist eine glatte Funktion von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ zu ${displaystyle Lambda ^{k}(mathbb {R} ^{n}).}$

Bemerkungen

Vor dem ${Anzeigestil k>n}$ ist ${displaystyle Lambda ^{k}(mathbb {R} ^{n})simeq {0}.}$ Normalerweise studiert man nur differentielle Ordnungsformen ${Anzeigestil k=0,1,ldots,n.}$

Vor dem ${Anzeigestil k=0}$ ist ${displaystyle Lambda ^{k}(mathbb {R} ^{n})simeq mathbb {R} .}$ Die 0-Formen sind also nur die glatten reellen Funktionen auf ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ in diesem Zusammenhang auch Skalare erwähnt.

Die Dimension von ${displaystyle Lambda ^{k}(mathbb {R} ^{n})}$ ist gleich der Anzahl der Kombinationen von ${displaystyle k}$ von ${Anzeigestil n.}$

Base

Hinweis ${displaystyle {mathrm {d} x^{1},mathrm {d} x^{2},ldots ,mathrm {d} x^{n}}}$ für die Standardbasis von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$ Sie ${displaystyle 1leq j_{1}$ Hinweis

${displaystyle mathrm {d} x^{j_{1}}keil mathrm {d} x^{j_{2}}keil ldots keil mathrm {d} x^{j_{k}}}$

für das Bild von

${displaystyle mathrm {d} x^{j_{1}}otimes mathrm {d} x^{j_{2}}otimes ldots otimes mathrm {d} x^{j_{k}}}$

unter dem kanonischen Surjektion

${displaystyle otimes ^{k}left(mathbb {R} ^{n}night) o Lambda ^{k}left(mathbb {R} ^{n}night)}$

Die Vektoren

${displaystyle {mathrm {d} x^{j_{1}}Wedge Ldots Keil Mathrm {d} x^{j_{k}}|1leq j_{1}$

konstituieren Base vor dem ${displaystyle Lambda ^{k}(mathbb {R} ^{n}).}$ Jeder ${displaystyle k}$-Form kann als a . geschrieben werden lineare Kombination dieser Vektoren mit Koeffizienten, glatte Funktionen von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} :}$

${displaystyle w(x^{1},ldots ,x^{n})=sum _{1leq j_{1}$

Interpretation und Beispiele

Intuitiv ist a ${displaystyle k}$-bilden eine orientierte Volumenmessung in ${displaystyle k}$ Maße. Formal ist es eine Summe von 0 oder mehr Objekten der Form

${displaystyle f(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^{j_{1}}Wedge-Mathrm {d} x^{j_{2}}Wedge-Ldots-Wedge-Mathrm {d} x^{j_{k}}}$

Zum Beispiel definieren wir in drei Dimensionen eine 2-Form ${Anzeigestil w}$ und eine 1-Form ${Anzeigestil q}$ durch

${displaystyle w=x^{1}Mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{2} x^{1}Mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{ 3}}$

${displaystyle q=sin(x^{1}-x^{2})mathrm {d} x^{3} x^{2}x^{3}mathrm {d} x^{1}}$

Externe Ableitung

Das externe Ableitung oder Differential von a ${displaystyle k}$-bilden ${Anzeigestil w}$ ist ein ${Anzeigestil(k1)}$Form, notiert als ${displaystyle mathrm {d} w}$ mit folgender Definition

${displaystyle mathrm {d} left(f(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^{i_{1}}Wedge ldots Keilmathrm {d} x^{i_{k} }ight)=sum _{j=1}^{n}{frac {partial f}{partial x^{j}}}mathrm {d} x^{i_{1}}keil-ldots-keil-mathrm {d} x ^{i_{k}}Keilmathrm {d} x^{j}}$

und weiter auf Summen solcher ${displaystyle k}$Formen und auf inhomogenen Differentialformen durch Linearität.

In der obigen Summe sind höchstens ${displaystyle n-k}$ des ${displaystyle n}$ von Null verschiedene Terme, weil durch Antisymmetrie . is ${displaystyle mathrm {d} x^{i_{1}}keil-ldots-keil-mathrm {d} x^{i_{k}}keil-mathrm {d} x^{j}=0}$ wenn mindestens einer der Indizes ${displaystyle i_{1},ldots ,i_{k}}$ gleich ${Anzeigestil j.}$

Beispiele

Sie ${displaystyle w_{1}}$ die 2 Form gegeben von

${displaystyle w_{1}=sin(x^{3})mathrm {d} x^{1}Wedge-Mathrm {d} x^{2}}$

Dann ist seine äußere Ableitung

${displaystyle mathrm {d} w_{1}=cos(x^{3})mathrm {d} x^{1}keil mathrm {d} x^{2}keil mathrm {d} x^{3}}$

Die folgenden 2-Formen haben jeweils die externe Ableitung 0:

${displaystyle w_{2}=x^{1}Mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{2} x^{1}Mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{3}}$

${displaystyle w_{3}=cos(x^{3})mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{2}Keil-Mathrm {d} x^{3}}$

Allgemeine Definition in gekrümmten Räumen

Sie ${Anzeigestil M}$ ein ${displaystyle n}$-dimensional glatt Vielfalt mit Schlagstrahl${displaystyle TM.}$ Das Coraak-Zimmer${Displaystil T^{*}M}$ ist das Doppelbündel. Das externe Algebra Über ${Displaystil T^{*}M,}$ bemerkt ${Displaystyle-Keil links (T^{*}Might),}$ ist die unendliche direkte Summe aller antisymmetrischen Tensorprodukte von ${Displaystil T^{*}M}$ mit sich selbst. Sie kann als Quotientenalgebra der Tensoralgebra von ${Displaystil T^{*}M}$ über eine (zweiseitige) Ideal wie oben im realen euklidischen Raum.

Die Antisymmetrie in der Definition impliziert, dass in der unendlichen direkten Summe nur die erste ${displaystyle n1}$ Begriffe (${Anzeigestil k=0,1,ldots,n}$) nicht-trivial sein.

EIN Differentialform über ${Anzeigestil M}$ ist ein Abschnitt der bündeln${Displaystyle-Keil links (T^{*}Macht).}$ EIN ${displaystyle k}$-bilden oder homogene Differentialform von Rang ${displaystyle k}$, Über ${Anzeigestil M}$ ist ein Abschnitt des Unterraums ${Displaystyle-Keil ^{k}links(T^{*}Might)}$ der antisymmetrischen ${displaystyle k}$-linear Formen (Cotensoren von Rang ${displaystyle k}$).

Notation in lokalen Koordinaten

In einem Koordinatensystem ${displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})}$ ist eine Differentialform a Ausdruck des Formulars

${displaystyle f(x^{1},ldots ,x^{n}) f_{1}(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^{1} ldots f_{n }(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^{n} f_{12}(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^ {1}Keil-Mathrm {d} x^{2} ldots f_{12ldots n}(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^{1}Keil-Ldots-Keil-Mathrm {d} x^{n}}$

EIN ${displaystyle k}$-form ist ein solcher Ausdruck, bei dem nur Terme mit Kreuzprodukten von genau ${displaystyle k}$ Kovektoren auftreten. Bei einer Koordinatentransformation verhält sich jeder Term einzeln als Kotensor des Ranges ${Anzeigestil k.}$

Interpretation

Die Interpretation als orientiert ${displaystyle k}$In gekrümmten Räumen gilt weiterhin die -dimensionale Volumenmessung.

Nullformen sind gewöhnliche reellwertige Funktionen auf ${Displaystil M.}$ Einheiten sind Kovektorfelder, sie messen die Länge eines Vektorfeldes (eventuell negativ). Zwei Formen sind antisymmetrisch bilineare Formen auf der berührenden Raum, messen sie die orientierte Fläche des Parallelogramms, die von zwei Tangentenvektoren mit demselben Angriffspunkt aufgespannt wird.

Volumen und Orientierbarkeit

Das höchstmögliche ${displaystyle k}$ für die nicht trivial ${displaystyle k}$-Formen existieren, ist die Dimension ${displaystyle n}$ der Sorte. wenn ${Anzeigestil k=n}$ es bleibt nur noch ein Freiheitsgrad (die Fasern des Cotensorbündels haben Dimension 1):

${displaystyle w=f_{12ldots n}(x^{1},ldots ,x^{n})mathrm {d} x^{1}Wedge ldots Keilmathrm {d} x^{n}}$

Nicht jede Sorte hat eine globale ${displaystyle n}$-Form, die sich in jedem Punkt von 0 unterscheidet. Wenn eine solche Form existiert, heißt sie it Volumenform und die Sorte heißt orientierbar.

Kohomologie

Das äußere Derivat ${displaystyle mathrm {d} }$ ist eine lineare Transformation von ${Displaystyle-Keil links (T^{*}Macht).}$ Ausgehend von der Austauschbarkeit partieller Ableitungen kann man zeigen, dass ${displaystyle mathrm {d} ^{2}=0,}$ d.h. das Differential eines Differentials ist trivial.

EIN ${displaystyle k}$-Form heißt Geschlossen wenn seine äußere Ableitung null ist. EIN ${displaystyle k}$-Form heißt genau wenn er selbst die äußere Ableitung von a . ist ${Anzeigestil (k-1)}$-bilden. Exakte Differentialformen sind geschlossen, aber das Umgekehrte trifft nicht immer zu. Im Spezialfall des euklidischen Raumes ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ jede geschlossene Differentialform ist exakt.

Ein Beispiel für eine geschlossene Form ist die 2 Form

${displaystyle w=x^{1}Mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{2} x^{1}Mathrm {d} x^{1}Keil-Mathrm {d} x^{ 3}}$

Auch diese Differentialform ist exakt. Er ist die externe Ableitung mathrm{d}q der 1 Form

${displaystyle q=-{ frac {1}{2}}(x^{1})^{2}mathrm {d} x^{2}-{ frac {1}{2}}(x^{1} )^{2}Mathematik {d} x^{3}}$

Betrachten Sie die folgende 1 Form im zweidimensionalen Raum ${displaystyle M=mathbb {R} ^{2}-{(0,0)}}$

${displaystyle w={frac {-x^{2}}{(x^{1})^{2} (x^{2})^{2}}}mathrm {d} x^{1} {frac {x^{1}}{(x^{1})^{2} (x^{2})^{2}}}mathrm {d} x^{2}}$

Man verifiziert direkt rechnerisch, dass ${displaystyle mathrm {d} w=0.}$ Es gibt jedoch keine 0-Form (Skalarfunktion) ${displaystyle f}$ im Großen und Ganzen ${Anzeigestil M}$ Das ${Anzeigestil w}$ als Differenzial. Die Funktion

${displaystyle f(x^{1},x^{2})=arktan {frac {x^{2}}{x^{1}}}}$

trifft ${displaystyle mathrm {d} f=,w}$ er kann aber nicht ohne Diskontinuität global definiert werden, z.B. mit einem "Sprung" von ${Anzeigestil pi}$ zu ${displaystyle -pi }$ in der negativen Hälfte des ${Displaystil X^{1}}$-Asche.

Die äußere Ableitung macht aus den Folgenbündeln der homogenen ${displaystyle k}$-Formen (${Anzeigestil k=0,1,ldots,n}$) ein Co-Ketten-Komplex. Die entsprechende Kohomologie ist der die Rham-Kohomologie der Sorte ${Displaystil M.}$ Das letzte Beispiel zeigt, dass die erste Kohomologie von

${displaystyle M=mathbb {R} ^{2}-{(0,0)}}$

ist nicht trivial.