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Im Hadamard-Produkt ist jedes Element das Produkt der entsprechenden Elemente in zwei Matrizen.

Es Hadamard-Produkt oder Schleifmittel ist in der Mathematik ein besonderes Produkt aus zwei Matrizen mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten. Jedes Element im Hadamard-Produkt ist das Produkt der entsprechenden Elemente in den beiden Matrizen.

Diese Operation ist nach den Mathematikern benannt Jacques Hadamard und Issai Schur. Der Name Hadamard-Produkt für diese Operation scheint es zum ersten Mal verwendet worden zu sein von Paul Halmos 1948. Andere Autoren haben sie nach Issai Schur benannt, der eine Reihe von Sätzen im Zusammenhang mit dieser Bearbeitung bewiesen hat. Das Hadamard-Produkt ist erhältlich im statische Analyse und multivariable Analyse verwendbar.^[1]

Definition

Aus den Matrizen ${Anzeigestil A=(a_{ij})}$ und ${Displaystil B=(b_{ij})}$ mit ${displaystyle m}$ Reihen und ${displaystyle n}$ Spalten ist es Hadamard-Produkt, notiert als ${Displaystil Acirc B}$, das ${displaystyle mimen n}$Matrix mit as-Elementen:

${displaystyle (Acirc B)_{ij}=a_{ij}cdot b_{ij},i=1dots m,j=1dots n}$

So

${displaystyle Acirc B={ egin{pmatrix}a_{11}cdot b_{11}&cdots &a_{1n}cdot b_{1n}/vdots &ddots &vdots /a_{m1}cdot b_{m1}&cdots &a_{mn}cdot b_ {mn}Ende{pmatrix}}}$

Hier sind die Elemente ${displaystyle a_{ij}}$ und ${displaystyle b_{ij}}$Real oder komplexe Zahlen.

Das Hadamard-Produkt unterscheidet sich deutlich vom regulären Matrix-Multiplikation. Um dies zu verdeutlichen, wird das Symbol für das Hadamard-Produkt verwendet ${Displaystil-Zirkel}$ (manchmal ${Anzeigestil-Punkt }$ oder ${Anzeigestil *}$). Nur wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$diagonale Matrizen sind, ist das Hadamard-Produkt ${Displaystil Acirc B}$ gleich Matrixmultiplikation ${Anzeigestil AB.}$

Beispiel

Das Hadamard-Produkt der Matrizen

${displaystyle A={ egin{pmatrix}3&2/0&1/-2&5end{pmatrix}}}$ und ${displaystyle B={ egin{pmatrix}1&2/3&1/3&3end{pmatrix}}}$

ist

${displaystyle Acirc B={ egin{pmatrix}3cdot 1&2cdot 2/0cdot 3&1cdot 1/-2cdot 3&5cdot 3end{pmatrix}}={ egin{pmatrix}3&4/0&1/-6&15end{pmatrix}}}$.

Eigenschaften

• Im Gegensatz zur Matrixmultiplikation ist das Hadamard-Produkt kommutativ: ${Anzeigestil Acirc B=Bcirc A}$.
• Es ist verteilend bezüglich der Matrixaddition: ${Anzeigestil Ccirc (A B) = Ccirc A Ccirc B}$.
• Es ist linear: ${Anzeigestil a(Acirc B)=(aA)circ B=Acirc (aB)}$, in welchem ${Anzeigestil a}$ ist eine (komplexe) Konstante.

Diese Eigenschaften folgen direkt aus den Eigenschaften der Multiplikation reeller oder komplexer Zahlen.

• Die "Identitätsmatrix" für das Hadamard-Produkt ist eine Matrix, in der jedes Element gleich 1 ist. Sie wird bezeichnet als ${Displaystil J}$ um Verwechslungen mit dem zu vermeiden Identitätsmatrix${Anzeigestil I}$ vermeiden.
• Das "Hadamardinverse" einer Matrix ${Anzeigestil A,}$ bezeichnet als ${displaystyle {Hut {A}},}$ existiert nur, wenn jedes Element von ${Anzeigestil A}$ weicht von Null ab. Jedes Element von ${displaystyle {Hut {A}}}$ ist die Umkehrung des entsprechenden Elements von ${Anzeigestil A}$: ${displaystyle {Hut {a}}_{ij}=(a_{ij})^{-1}.}$ Dann ist ${displaystyle Acirc {Hut {A}}={Hut {A}}circ A=J.}$
• Die Sammlung ${displaystyle mimen n}$-Matrizen mit allen Elementen außer Null bilden a abelsche Gruppe mit der Verarbeitung des Hadamard-Produkts.
• Das Hadamard-Produkt aus zwei positiv-semidefinit${Anzeigestil n imes n}$Matrizen ist auch positiv-semidefinit. Das Hadamard-Produkt zweier positiv-definiter Matrizen ist ebenfalls positiv-definit. Eine symmetrische Matrix ist genau dann positiv-definit, wenn sie als das Hadamard-Produkt zweier positiv-definiter Matrizen geschrieben werden kann. Der deutsche Mathematiker Issai Schur hat dies erstmals 1911 bewiesen.^[2]
• wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ zwei positive semidefinite Matrizen sind, gilt für die bestimmend ihres Hadamard-Produkts de Oppenheims Ungleichung:

${displaystyle det(Acirc B)geq det(A)det(B)}$

• wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ zwei ${displaystyle mimen n}$Matrizen, dann für die Rang ihres Hadamard-Produkts:

${Displaystyle Operatorname {Rang} (Acirc B)leq Operatorname {Rang} (A)cdot Operatorname {Rang} (B)}$

• wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ zwei ${displaystyle mimen n}$-Matrizen sind es? ${Anzeigestil i}$-das Diagonalelement des Matrixprodukts ${displaystyle AB^{ ext{T}}}$ gegeben von:

${displaystyle (AB^{ ext{T}})_{ii}=a_{i1}b_{i1} a_{i2}b_{i2} Punkte a_{in}b_{in}}$

Daraus lässt sich ableiten, dass die Spur von ${Displaystil AB^{T}}$ gleich der Summe aller Elemente des Hadamard-Produkts ${Displaystil Acirc B}$.

wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ sind beide quadratische Matrizen, die Summe der ${Anzeigestil i}$-in der linie rij ${Displaystil Acirc B}$ gleich ${Anzeigestil i}$-das diagonale Element von ${displaystyle AB^{ ext{T}}}$:

${Anzeigestilsumme _{j}(Acirc B)_{ij}=(AB^{ ext{T}})_{ii}.}$

• Das Hadamard-Produkt aus zwei ${displaystyle mimen n}$-Matrizen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ ist ein Untermatrix von dem Kronecker-Produkt von ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B;}$ die Elemente des Hadamard-Produkts befinden sich an den Schnittpunkten der Spalten ${displaystyle 1,n 2,2n 3,ldots ,n^{2}}$ und die Reihen ${displaystyle 1,m 2,2m 3,ldots ,m^{2}}$ des Kronecker-Produkts.