WikiDer > Homogenität (Mathematik)

In dem Lineare Algebra heißt Funktion ${Anzeigestil f(x)}$homogen wie für alle ${displaystyle alpha }$ gilt:

${Anzeigestil f(alpha x)=alpha f(x)}$

Homogenität ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für Linearität.

Allgemeiner sagt man, dass eine Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ ist im Grad homogen ${displaystyle k,}$ wenn für alle ${displaystyle alpha }$ gilt:

${Anzeigestil f(alpha x)=alpha^{k}f(x)}$

Hier kannst du ${displaystyle k}$ jede Zahl, die im gegebenen Kontext sinnvoll ist als a Exponent kann interpretiert werden, aber normalerweise beschränkt man sich auf natürliche Zahlen.

Homogenität kann auch für Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinert werden. Somit heißt es, dass die Funktion ${Anzeigestil f(x,y)}$ von zwei Variablen ist vom Grad her homogen ${displaystyle k,}$ wenn für alle ${displaystyle alpha }$ gilt:

${Anzeigestil f(alpha x,alpha y)=alpha^{k}f(x,y)}$

Beispiel

Die Funktion

${Anzeigestil f(x,y)=4x^{3}-xy^{2} y^{3}}$

ist homogen vom Grad 3.

Formale Definition

Sie ${displaystyle k}$ eine natürliche Zahl. Die Funktion ${Anzeigestil f:V oder W}$ zwischen zwei Vektorräume über einen Körper/Feld${Anzeigestil F}$ (oder allgemeiner zwischen zwei Module über einen Ring${Anzeigestil F}$) heiß homogen des Abschlusses ${Anzeigestil kgeq 0,}$ wie für alle ${Anzeigestil Alpha in F}$ und alles ${Anzeigestil xin V}$ gilt

${Anzeigestil f(alpha x)=alpha^{k}f(x)}$

Für die Zwecke dieser Definition gilt ${Anzeigestil 0^{0}=1}$ stellen.

Beachten Sie, dass es einen Unterschied macht, ob es sich um eine komplexe Funktion über die komplexen Zahlen oder über die entsprechende Funktion der Menge zweidimensionaler reeller Vektoren zu sich selbst handelt: homogen ersten Grades im ersten Fall impliziert homogen ersten Grades im zweiter Fall, aber nicht umgekehrt.

Beispiele und Gegenbeispiel

• Das Polynomfunktion${Anzeigestil f(x)=x^{3}}$ ist homogen vom Grad 3 (man sagt auch: homogen vom dritten Grad).
• jeder lineares Bild zwischen zwei Vektorräumen (oder Modulen) ist homogen vom Grad 1.
• Die homogenen Funktionen vom Grad 0 sind genau die Konstante Bilder.
• Eine homogene Funktion vom Grad 1 oder höher bildet immer den Nullvektor auf den Nullvektor ab.
• Eine Polynomfunktion in einer oder mehreren Variablen ist genau dann homogen vom Grad ${displaystyle k}$ wenn jedes einzelne Nomen der Grad ist ${displaystyle k}$ hast.
• Die Polynomfunktion ${Anzeigestil f(x)=x 1}$ ist nicht homogen, weil das Mononom ${Anzeigestil x}$ hat den Grad 1 und das Mononom 1 hat den Grad 0.

Beispiele für Bilder von ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$ die homogen vom Grad 1 sind, aber nicht linear:

• ${displaystyle f(x,y)=|x|operatorname {sgn} y}$
• ${Anzeigestil f(x,y)=xsin(y/x)}$ mit ${Anzeigestil f(0,y)=0}$.
• ${displaystyle f(x,y)={frac {x^{3}}{x^{2} y^{2}}}}$.

Der erste ist nicht kontinuierlich, der zweite und der dritte sind.

Ein Bild ${Anzeigestil f(x,y)}$, oder in Polar Koordinaten${Anzeigestil g(r,heta)}$, von ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ zu ${displaystyle mathbb {R} }$ die bis zu einem gewissen Grad homogen ist ${Anzeigestil k>0,}$ ist z.B. gegeben durch alle Werte ${Anzeigestil g(1,heta)}$ (also auf dem Einheitskreis) oder alle Werte ${Anzeigestil f(x,1)}$ und der Wert ${Anzeigestil f(1,0)}$, oder alle Werte ${Anzeigestil f(1,y)}$ und der Wert ${Anzeigestil f(0.1)}$ (wobei jede Kombination von Werten eine homogene Abbildung des fraglichen Grads ergibt), weil:

• ${Anzeigestil g(r, heta)=r^{k}g(1,heta)}$
• ${displaystyle f(x,y)=y^{k}f({frac {x}{y}},1)}$ (vor dem ${displaystyle yeq 0}$)
• ${displaystyle f(x,y)=x^{k}f(1,{frac {y}{x}})}$ (vor dem ${displaystyle xeq 0}$)

Die obigen Bilder als homogene Bilder vom Grad 1 sind daher vollständig bestimmt durch:

• ${Anzeigestil f(x,1)=|x|}$ und ${Anzeigestil f(1,0)=0}$
• ${Anzeigestil f(x,1)=xsin(1/x)}$ und ${Anzeigestil f(0.1)=f(1.0)=0}$
• ${displaystyle f(x,1)={frac {x^{3}}{x^{2} 1}}}$ und ${Anzeigestil f(1,0)=1}$

und auch von:

• ${displaystyle f(1,y)=Operatorname {sgn} y}$ und ${Anzeigestil f(0.1)=0}$
• ${Anzeigestil f(1,y)=sin y}$ und ${Anzeigestil f(0.1)=0}$
• ${displaystyle f(1,y)={frac {1}{1 y^{2}}}}$ und ${Anzeigestil f(0.1)=0}$

wenn kontinuierlich Bei Bildern, die homogen vom Grad 1 sind, werden die zweite und dritte natürlich immer vollständig durch die erste Formel bestimmt, denn die Werte in einzelnen Punkten und Linien werden dann durch Nehmen des Grenzwerts bestimmt (sofern sie wie hier existieren , und so kann das Bild kontinuierlich erstellt werden).

Ableitung einer homogenen Funktion

wenn ${Anzeigestil V}$ das Real oder Komplex${displaystyle n}$-dimensionalKoordinatenraum ist, dann ist das Argument ${Anzeigestil x}$ abgemeldet werden als a ${displaystyle n}$-Tupel

${displaystyle f(x)=f(x_{1},x_{2},ldots,x_{n})}$

Wenn zusätzlich ${Anzeigestil W}$ ein standardisierter Raum ist und ${displaystyle f}$ ist differenzierbar und vom Grad her homogen ${displaystyle k,}$ dann ist auch die Ableitung homogen, aber dann vom Grad ${Anzeigestil k-1.}$ Dies gilt auch für den Einzelnen partielle Ableitungen.

Positive Homogenität

wenn ${Anzeigestil V}$ ein reeller Vektorraum ist, unterscheidet man auch den verwandten (aber breiteren) Begriff positive Homogenität. Mit obiger Notation heißt die Funktion ${displaystyle f}$positiv homogen des Abschlusses ${displaystyle k}$ wie für alle ${Anzeigestil Alpha >0}$ gilt;

${Anzeigestil f(alpha x)=alpha^{k}f(x)}$

Eine homogene Funktion des Grades ${displaystyle k}$ ist positiv homogen vom Grad ${displaystyle k,}$ aber umgekehrt ist es nicht nötig.

Beispiel

EIN Norm${Displaystil N}$ auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv homogene Funktion vom Grad 1, aber keine homogene Funktion vom Grad 1, wenn es mindestens einen Vektor gibt ${Anzeigestil x}$ ein anderer als der Nullvektor existiert; immerhin dann ${Anzeigestil N(x)=N(-x)>0.}$

Satz der homogenen Euler-Funktionen

Sie ${displaystyle f}$ ein positiv homogenes reellwertige Funktion des Grades ${displaystyle k}$ auf der ${displaystyle n}$-dimensionaler realer Koordinatenraum und Anmerkung ${displaystyle abla}$ für die vektorwertige Funktion, deren Komponenten die partiellen Ableitungen von sind ${displaystyle f}$ sind dann

${displaystyle xcdot abla f(x)=kf(x)}$

Bei Komponenten,

${Anzeigestilsumme _{i=1}^{n}x_{i}{frac {teilweise f}{teilweise x_{i}}}(x)=kf(x)}$