WikiDer > Noetherischer Ring

In dem abstrakte Algebra wird ein Ringnoethers benannt als sein Ideale unter einer bestimmten Bedingung von Endlichkeit erfüllen. In diesem Zusammenhang spricht man auch ausdrücklich von Ringen, die den Anforderungen der steigender Kettenzustand.

Noethersche Ringe sind benannt nach Emmy Noether.

Eigenschaft definieren

Die folgenden drei Aussagen zu a Kommutativer Ring${Anzeigestil A}$ sind gleichwertig. Ein Noetherscher Ring ist ein Ring, der eine und damit alle dieser Eigenschaften erfüllt.

1. Jeder Ideal von ${Anzeigestil A}$ produziert wird (wenn ${Anzeigestil A}$-Modul) durch eine endliche Anzahl von Elementen;
2. jede aufsteigende Kette von Idealen von ${Anzeigestil A}$: ${displaystyle a_{1}Teilmenge a_{2}Teilmenge cdots Teilmenge a_{n}Teilmenge cdots }$ wird konstant, d.h. es existiert ein Index ${displaystyle m}$ damit alle weiteren Ideale in der Kette gleich sind: ${displaystyle a_{m}=a_{m 1}=a_{m 2}=ldots }$
3. jede nicht leere Sammlung von Idealen von ${Anzeigestil A}$ hat ein maximales Element, d. h. ein Ideal, das nicht Teilmenge gehört jedem anderen Mitglied der Sammlung.

Die zweite und dritte Bedingung besagen, dass die Sammlung Ideale von ${Anzeigestil A}$, mit dem Teilbestellung "ist eine Teilmenge von" erfüllt eine Zusammenfassung Kettenzustand.

Beispiele und Gegenbeispiel

• Jeder endlicher Ring ist Noethers.
• der Ring von ganze Zahlen ist Noethers.
• EIN Körper hat nur zwei Ideale und ist daher Noethers.
• Unter dem Hilberts Grundsatzbert ist der ring ${displaystyle m[X_{1},ldots ,X_{n}]}$ der Polynome im ${displaystyle n}$ ändern mit Koeffizienten in einem Körper${displaystyle m}$, ein Noetherscher Ring. Allgemeiner gesagt, wenn ${Anzeigestil A}$ ein Noetherscher Ring ist, dann auch ${Anzeigestil A[X]}$.
• Der Ring ${displaystyle C[0,1]}$ der kontinuierliche Funktionen auf der geschlossenen Einheitsintervall ist nicht noether. Immerhin für jede beliebige reelle Zahl${displaystyle r}$ zwischen 0 und 1 bildet die Teilmenge ${displaystyle a_{r}}$ der stetigen Funktionen, die auf dem Teilintervall den Wert 0 annehmen ${displaystyle [0,r]}$, ein Ideal von ${displaystyle C[0,1]}$. Aber die unendlich aufsteigende Kette

${displaystyle a_{1/2}Teilmenge a_{1/3}Teilmenge ldots Teilmenge a_{1/n}Teilmenge ldots }$

besteht aus allen voneinander verschiedenen Idealen.

Anwendung

Der Grundsatz von Hilbert ist der Ausgangspunkt für die algebraische Geometrie. Tatsächlich sagt sie, dass die Lösungssatz beliebiger algebraischer Gleichungen immer mit endlicher Zahl Gleichungen kann beschrieben werden.

Höhe und Lockenmaß

Die Höhe von a Primideal${Anzeigestil I}$ in einem Noetherschen Ring ${Anzeigestil A}$ ist die Länge der längsten streng aufsteigenden Kette von Primidealen, die auf enden ${Anzeigestil I}$. Mit "Länge" meinen wir die Anzahl der Einschlüsse, also ist ein einzelnes Primideal eine Kette der Länge 0.

Das Krull-Dimension von ${Anzeigestil A}$ ist die größtmögliche Höhe eines Primideals von ${Anzeigestil A}$, d.h. die Länge der längstmöglichen Kette von Primidealen von ${Anzeigestil A}$. Sie ist benannt nach named Wolfgang Krull.

Beispiel

In den ganzen Zahlen sind alle nichttrivialen Primideale maximal, also ist die Krull-Dimension 1. Dies gilt allgemeiner für alle Hauptidealbereich das ist kein Körper.

Körper haben Krull-Dimension 0. De Ring von Polynomen im ${displaystyle n}$ Variablen über einem Körper ${displaystyle m}$ hat Krull-Dimension ${displaystyle n}$. Der Ring der Polynome in ${displaystyle n}$ Variablen über einem Noetherschen Ring mit Krull-Dimension ${displaystyle m}$ hat Krull-Dimension ${Anzeigestil m n}$.

Primärauflösung

Eine primäre Auflösung eines Ideals ${Anzeigestil I}$ in einem Ring ${displaystyle mathbb {R} }$ ist eine Schreibweise von ${Anzeigestil I}$ wenn Überschneidung einer endlichen Zahl primäre Ideale von ${displaystyle mathbb {R} }$.

In einem Noetherschen Ring hat jedes Ideal außer dem Ring selbst eine primäre Zerlegung. Dies ist eine abstrakte Verallgemeinerung der Hauptsatz der Arithmetik, wenn man bedenkt, dass die Primärideale des Rings der ganzen Zahlen genau die Ideale sind, die durch eine Potenz von a . erzeugt werden Primzahl.

Siehe auch

Ganz analog heißt ein kommutativer Ring a Artinischer Ring, zu Emil Artin, wenn der Ring auf dem Zustand der fallenden Kette befriedigt. Der Satz von Akizuki-Hopkins-Levitzski besagt, dass jeder Artinsche Ring Noethers ist.

Literatur

• (und) M. F. Atiyah und ICH G. MC Donalds, "Einführung in die kommutative Algebra", Einführung in die kommutative Algebra, Westview Press 1969, ISBN 0-201-40751-5.