WikiDer > Lösliche Gruppe

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, heißt a Gruppelöslich, wenn sie mit einer endlichen Folge von Erweiterungen von . konstruiert werden kann abels Gruppen.

Definition

Eine Gruppe ${Anzeigestil G}$ wird löslich heißt, wenn diese Gruppe eine Normalfolge hat, deren Faktorgruppen alle kommutativ sind, d.h. es gibt Untergruppen

${displaystyle {1}=G_{0}Teilmenge G_{1}Teilmenge ldots Teilmenge G_{k}=G}$

sein, so dass ${displaystyle G_{j-1}}$normal ist in ${displaystyle G_{j}}$ und die Faktorgruppen ${Displaystil G_{j}/G_{j-1}}$ kommutativ sein.

Oder äquivalent: wenn die "abgeleiteten Zeilen" der Gruppe, die absteigende normale Zeile

${displaystyle G riangleright G^{(1)} riangleright G^{(2)} riangleright ldots ,}$

wobei jede Untergruppe die Kommutator-Untergruppe des Vorherigen ist letztendlich das triviale Gruppe {1 von G erreicht. Diese beiden Definitionen sind äquivalent, da für jede Gruppe huh und jeder normale sub Nein von huh, der Quotient huh/Neindann und nur dann ist kommutativ, wenn huh⁽¹⁾ ist ein Teil von Nein. Das kleinste nein so dass ${Displaystil G^{(n)}={1}}$ wird die abgeleitete Länge der löslichen Gruppe G erwähnt.

Beispiele

Alle abelschen Gruppen sind lösbar - het Quotientein/ B wird immer abel sein als ein abel. Die Lösbarkeit einer Gruppe ist daher nur für nichtkommutative Gruppen sinnvoll.

Allgemeiner gesagt, alle nilpotente Gruppen lösbar sein. Insbesondere die endlichp-Gruppen lösbar, da alles endlich p-Gruppen nilpotent sein.

Ein kleines Beispiel für eine lösliche, nicht-nilpotente Gruppe ist die symmetrische Gruppeso₃. Da der kleinste Singular nicht-abelsche Gruppe ein₅ (das alternierende Gruppe vom Grad 5), folgt daraus jeder Gruppe mit a Auftrag von weniger als 60 ist löslich.