WikiDer > Faktorgruppe

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der abstrakte Algebra, ist ein Faktorgruppe oder Quotientengruppe ein Gruppe die aus einer gegebenen Gruppe und a normaler sub dieser Gruppe, die aus den Co-Klassen des normalen Subs.

Definition

wenn ${Anzeigestil H}$ ein normaler sub gehört zu einer Gruppe ${Anzeigestil G}$, was bedeutet, dass die Sammlung${Anzeigestil G/H}$ der linken Unterklassen von ${Anzeigestil H}$ stimmt mit der Kollektion überein ${displaystyle G ackslash H}$ der richtigen Unterklassen von ${Anzeigestil H}$, dann bildet sich die Menge der Co-Klassen ${Anzeigestil G/H}$ eine Gruppe, die Faktorgruppe oder Quotientengruppe von ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$, Wenn da ein ... ist Gruppenbearbeitung${Anzeigestil *}$ wird durch das Produkt zweier Co-Klassen definiert ${displaystyle aH}$ und ${Displaystil-BH}$ als die Sekundarstufe angesehen werden ${displaystyle abH}$ des Produkts von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$:

${displaystyle aH*bH=abH}$.

Dies ist nur dann eine gültige Definition, wenn sie unabhängig vom gewählten Vertreter der Co-Klassen ist. Also wenn ${displaystyle cin aH}$ und ${Displaystil-Din-BH}$, Muss ${displaystyle cdin abH}$. weil ${displaystyle cin aH}$ und ${Displaystil-Din-BH}$ folgt:

${displaystyle a^{-1}cin H}$ und ${displaystyle b^{-1}din H}$

Aber auch weil ${Anzeigestil H}$ normales sub ist:

${displaystyle dbinH}$ und ${displaystyle a^{-1}cdbin H}$

und

${displaystyle b^{-1}a^{-1}cdin H}$

So

${displaystyle (ab)^{-1}cdin H}$

so dass

${displaystyle cdin abH}$

Es ist auch leicht zu überprüfen, dass diese gut definiert Die Operation auf der Menge der Co-Klassen erfüllt die Gruppenaxiome.

Beispiele und elementare Eigenschaften

Sie ${displaystyle mathbb {Z} }$ die addierende Gruppe von ganzen Zahlen und ${displaystyle nmathbb {Z} }$ das Untergruppe der ${displaystyle n}$-falten (${displaystyle ngeq 1}$). Dann bildet ${displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }$, die Sammlung von Restklassenmodular${displaystyle n}$, ein zyklische Gruppe mit ${displaystyle n}$ Elemente.

Jede Gruppe ist eine normale Untergruppe für sich selbst, und die Faktorgruppe ist die triviale Gruppe mit 1 Element.

Die triviale Untergruppe, die aus den neutrales Element, ist immer ein normaler Faktor. Die Faktorgruppe ist isomorph mit der ursprünglichen Gruppe.

Die Gruppe ${Anzeigestil GL(n,K)}$ des reversiblen ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen mit Elementen in a Körper${Anzeigestil K}$ hat als normale Untergruppe die Untergruppe ${Anzeigestil SL(n,K)}$ aus Matrizen mit bestimmend 1. Die Faktorgruppe ist isomorph zur Multiplikationsgruppe ${Displaystil K^{*}}$ (die invertierbaren Elemente von ${Anzeigestil K}$).

In einem Isometriegruppe von a euklidischer Raum mit nicht nur direkte Isometrien die Teilmenge der direkten Isometrien ist eine normale Teilmenge mit einer Faktorgruppe von zwei Elementen, der Menge der direkten Isometrien und der Menge der indirekten Isometrien.

Im Allgemeinen ist die Ader von a Homomorphismus von Gruppen sind immer eine normale Untergruppe der Domäne. Die entsprechende Faktorgruppe scheint mit dem Bild des Homomorphismus isomorph zu sein.

Umgekehrt repräsentiert das Bild jedes Element einer Gruppe ${Anzeigestil G}$ auf seiner Co-Klasse in Bezug auf die normale Unterklasse ${Anzeigestil H}$ zeigt a surjektivGruppenhomomorphismus von ${Anzeigestil G}$ zu ${Anzeigestil G/H}$. Der Kern dieses Homomorphismus ist ${Anzeigestil H}$.