WikiDer > Normale Aktie

Beim Mathematiker Gruppentheorie ist ein normales sub oder normale Untergruppe ein Untergruppe${Anzeigestil H}$ von a Gruppe${Anzeigestil G}$, von denen die Co-Klassen zusammen ein neues Gruppe Formen. Charakteristisch für eine normale Unterklasse ist, dass ihre linke und rechte Unterklasse zusammenfallen. Die Co-Klassen der normalen Unterklasse ${Anzeigestil H}$ konstituieren Partition (disjunkte Teilung) der Gruppe ${Anzeigestil G}$. Die neu erstellte Gruppe ist definiert als die Faktorgruppe${Anzeigestil G/H}$ von ${Anzeigestil G}$ und ${Anzeigestil H}$.

Definition

Sie ${Anzeigestil (G,cdot)}$ eine Gruppe und ${Anzeigestil D}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil G}$. Sie sagen, dass ${Anzeigestil D}$ ist eine normale Unterteilung von ${Anzeigestil G}$ wie für alle Elemente${displaystyle Gin G}$ und ${Anzeigestil din D}$ gilt

${displaystyle g^{-1}cdot dcdot gin D}$

Dies wird oft als:

${Anzeigestil D Reihe links G}$

Leute schreiben auch

${displaystyle g^{-1}cdot Dcdot gsubset D,}$

in welchem

${displaystyle g^{-1}cdot Dcdot g=left{g^{-1}cdot dcdot gmid din Dight}}$

Beispiele

Von a abelsche Gruppe ist irgendwas Untergruppe normal, weil

${displaystyle g^{-1}cdot dcdot g=g^{-1}cdot gcdot d=ecdot d=d}$.

Allgemeiner gesagt ist es Center${Anzeigestil Z(G)}$ einer Gruppe ${Anzeigestil G}$, das sind die Elemente, die zu jedem anderen Element passen pendeln, eine normale Unterteilung von ${Anzeigestil G}$. Auch jede Untermenge von ${Anzeigestil Z(G)}$ ist normal in ${Anzeigestil G}$.

In dem Permutationsgruppe auf einen endliche Menge mit ${displaystyle n}$Elemente bilden die ebene Permutationen ein normales U-Boot, das sogenannte alternierende Gruppe${displaystyle {mathcal {A}}_{n}}$. Vor dem ${Anzeigestil n=3}$ ist dies beispielsweise die Gruppe mit der Identität und (123) und {132).

Das Ader von a Homomorphismus von Gruppen ist definiert als das inverse Abbild der neutrales Element. Es ist immer normal.

In dem Gruppe${Anzeigestil GL(n,K)}$ des invertierbaren ${Anzeigestil n imes n}$-Matrizen über einen Körper${Anzeigestil K}$, ist der spezielle lineare Gruppe${Anzeigestil SL(n,K)}$ des Matrizen mit bestimmend 1 ist ein normales U-Boot. Dies ist eigentlich ein Sonderfall einer oben erwähnten Regel, denn die Determinantenabbildung kann verstanden werden als a Gruppenhomomorphismus.

In dem euklidische Gruppe${Anzeigestil E(n)}$ von Isometrien ist die Gruppe aller Übersetzungen eine normale Untergruppe. Biene ${Anzeigestil n=2}$ ist in einem Isometriegruppe ohne andere Translationen als Vielfache eines gegebenen Translationsvektors ist die Gruppe dieser Translationen eine normale Unterteilung. Abhängig von Streifenmustergruppe (Unterkategorie von Isometriegruppen dieser Kategorie) unter die diese Isometriegruppe fällt, gibt es 1, 2 oder 4 Äquivalenzklassen.

In einer Isometriegruppe von a euklidischer Raum mit nicht nur direkte Isometrien die Teilmenge der direkten Isometrien ist eine normale Teilmenge mit einer Faktorgruppe von zwei Elementen, der Menge der direkten Isometrien und der Menge der indirekten Isometrien.

Gegenbeispiele

In der Permutationsgruppe ${displaystyle {mathcal {S}}_{3}}$ ist die Untergruppe ${displaystyle links{{hbox{id}},(12)ight}}$ (die zyklische Untergruppe zweier Elemente, die durch den Austausch von 1 und 2 entsteht) ist keine normale Untergruppe, weil ${Anzeigestil (13)(12)(13)=(23)}$

Das alternierende Gruppe${displaystyle {mathcal {A}}_{5}}$ heiß Singular (oder "einfach"), weil es keine wirklichen normalen Faktoren hat (keine normalen Faktoren außer den triviale Gruppe und er selbst).

In dem Lügengruppe${Anzeigestil SO(3)}$ der Drehungen im ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ bilden die Drehungen um die around ${Anzeigestil z}$-als Untergruppe, die nicht normal ist. Die Lügengruppe ${Anzeigestil SO(3)}$ ist singulär, weil es keine echten Lie-Untergruppen gibt, die normal sein.

Normalisierer

Das Normalisierer einer Untergruppe ${Anzeigestil D}$ aus der Gruppe ${Anzeigestil G}$ ist definiert als

${displaystyle N(D)={gin Gmid gcdot D=Dcdot g}}$

Es ist die größte Untergruppe von ${Anzeigestil G}$ in welchem ${Anzeigestil D}$ ist noch normal.