WikiDer > Quaternion-Gruppe

Zyklusgraph von Q. Jede Farbe zeigt eine Reihe von Potenzen jedes Elements an, das mit dem Identitätselement (1) verbunden ist. Zum Beispiel spiegelt der rot dargestellte Zyklus die Tatsache wider, dass ich ² = −1, ich ³ = −ich und ich ⁴ = 1. Der rote Kreis repräsentiert auch die Tatsache, dass (−−ich )² = −1, (−ich )³ = ich und (−ich )⁴ = 1.

In dem Gruppentheorie ist der Quaternionengruppe ein nicht-abelianischGruppe von Auftrag8. Die Quaternionengruppe wird oft mit bezeichnet Q und wird in multiplikativer Form mit den folgenden acht Elementen wie folgt geschrieben:

Q = {1, −1, ich, −ich, ja, −ja, k, −k}

Hier ist 1 es Identitätselement, (−1)² = 1 und (−1)ein = ein(−1) = −ein für alle ein im Q. Die restlichen Multiplikationsregeln erhält man aus den folgenden Beziehungen:

${displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$

Das Ganze Cayley-Tisch (Multiplikationstabelle) für Q ist gegeben bei:

Beachten Sie, dass die resultierende Gruppe nicht-kommutativ ist; beispielsweise ij = −Sie. Q hat die ungewöhnliche Eigenschaft, ein Hamiltonian ist: beliebig Untergruppe von Q ist ein normale Untergruppe, aber die Gruppe ist nicht abelsch. Jede Hamilton-Gruppe enthält eine Kopie von Q.

Siehe auch

• Quaternion