WikiDer > Hamiltonsche Gruppe

In dem Gruppentheorie ist ein Dedekind-Gruppe ein Gruppe davon jeweils Untergruppenormal ist. Dedekind-Gruppen sind benannt nach Richard Dedekind, die sie in einem Artikel von 1897 untersuchte abelsche Gruppen sind Dedekind-Gruppen. Dedekind nannte die nicht-abelschen Dedekind-Gruppen Hamiltonsche Gruppen, zu William Rowan Hamilton, der Schöpfer des Quaternionen.

Hamiltonsche Gruppen können vollständig nach einem Dedekind-Theorem charakterisiert werden. Jede endliche Hamilton-Gruppe ${Anzeigestil G}$ hat die Form:

${displaystyle Gcong Q_{8} imes A imes (mathbb {Z} /2mathbb {Z} )^{n}}$,

in welchem:

• ${displaystyle Q_{8}}$ Das Quaternionengruppe ist,
• ${Anzeigestil A}$ eine abelsche Gruppe ungerader Ordnung,
• und ${displaystyle n}$ ist eine natürliche Zahl.

Vor dem ${Anzeigestil n=0}$ der dritte Faktor fehlt. Wenn die Gruppe ${Anzeigestil A}$trivial fehlt der zweite Faktor. Die Quaternionengruppe ist also die kleinste Hamilton-Gruppe, und jede Hamilton-Gruppe enthält eine Untergruppe, die mit der Quaternion-Gruppe isomorph ist.

Folglich, ${displaystyle Q_{8}imes Q_{8}}$ und ${displaystyle Q_{8}imes mathbb {Z} /4mathbb {Z} }$ keine Hamiltonschen Gruppen. Und tatsächlich sind ${Anzeigestil {(q,q)|qin Q_{8}}}$ bzw. ${displaystyle {(1,{overline {0}}),(i,{overline {1}}),(-1,{overline {2}}),(-i,{overline {3}})}, }$ nicht-normale Untergruppen, wobei ${displaystyle mathbb {Z} /4mathbb {Z} ={{overline {0}},{overline {1}},{overline {2}},{overline {3}}}}$.