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Geometrische Darstellung von ${Anzeigestil z}$ und sein Konjugat ${displaystyle {overline {z}}}$ in der komplexen Ebene.

In dem Mathematik ist der komplex konjugiert oder Komplex hinzugefügt von a komplexe Zahl die komplexe Zahl mit dem gleichen echter teil, aber das Gegenteil imaginärer Teil. Stellt man sich eine komplexe Zahl im komplexe Ebene repräsentiert, dann ist es konjugiert um die reelle Achse gespiegelt Nummer. Wenn eine komplexe Zahl und ihre komplex Konjugierte zu . werden multipliziert, ist der Produkt eine reelle Zahl. In zusammengesetzten Formeln ist die Abkürzung c.c. verwendet, um zu vermeiden, dass Sie die komplex Konjugierte eines vorhergehenden Formelstücks schreiben müssen.

Die Konjugierte einer komplexen Zahl ${Anzeigestil z}$ wird mit ${displaystyle {overline {z}}}$ angegeben. Das Bild, das ${Anzeigestil z}$ auf ${displaystyle {overline {z}}}$ zeigt ist ein Involution.

Definition

Die Konjugierte der komplexen Zahl,

${displaystyle z=a bi}$

in welchem ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$reale Nummern sein, ist definiert als

${displaystyle {overline {z}}=a-bi}$,

also mit dem gleichen echter teil, aber mit einem gegenteil imaginärer Teil.

Das komplex Konjugierte von ${Anzeigestil z,}$ hier notiert als ${displaystyle {overline {z}}}$, heißt auch mit ${displaystyle z^{*}}$ angegeben.

Beispiele

${displaystyle {overline {3-2i}}=3 2i}$

${displaystyle {overline {7}}=7}$

${displaystyle {overline {i}}=-i.}$

Komplexe Zahlen werden oft als Punkte in einer Ebene mit a . dargestellt Kartesisches Koordinatensystem. Auf der ${Anzeigestil x}$-Achse ist der Realteil der komplexen Zahl aufgetragen, auf der ${Anzeigestil y}$-als Imaginärteil. Das komplex Konjugierte entspricht in dieser Darstellungsweise a Reflexion in dem ${Anzeigestil x}$-Asche.

Im Polar Koordinaten wird komplex konjugiert von

${displaystyle z=r,e^{iphi}}$

gegeben von:

${displaystyle {overline {z}}=r,e^{-iphi}}$.

Also mit dem gleichen Modul, aber gegenteil Streit. Dies ist möglich mit der Eulersche Formel verifiziert werden.

Bestellte Paare komplexer Konjugate sind wichtig, weil die imaginäre Einheit${Anzeigestil i}$ ist qualitativ nicht von additiv und multiplikativ zu unterscheiden invers${displaystyle -i}$, da beide die Definition für die imaginäre Einheit erfüllen ${Anzeigestil x^{2}=-1}$ erfüllen.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten, sofern nicht anders angegeben, für alle komplexen Zahlen ${Anzeigestil z}$ und ${Anzeigestil w.}$

• ${displaystyle {overline {overline {z}}}=z}$, das Bild${displaystyle f:zightarrow {overline {z}}}$ ist ein Involution
• ${displaystyle {overline {z w}}={overline {z}} {overline {w}}}$
• ${displaystyle {overline {z-w}}={overline {z}}-{overline {w}}}$
• ${displaystyle {overline {zw}}={overline {z}};{overline {w}}}$
• ${displaystyle {overline {left({frac {z}{w}}ight)}}={frac {overline {z}}{overline {w}}}}$ wenn ${displaystyle weq 0}$
• ${displaystyle {overline {z}}=z}$dann und nur dann, wenn${Anzeigestil z}$ ist echt
• ${displaystyle {overline {z^{n}}}={overline {z}}^{n}}$ für jedes gerade Zahl${displaystyle n}$
• ${displaystyle |{overline {z}}|=|z|}$
• ${displaystyle |z|^{2}=z{overline {z}}={overline {z}}z}$
• ${displaystyle { frac {1}{2}}(z {overline {z}})=Re(z)}$
• ${displaystyle { frac {1}{2i}}(z-{overline {z}})=Im(z)}$
• ${displaystyle z^{-1}={frac {overline {z}}{|z|^{2}}}}$ wenn ${displaystyle zeq 0}$

Diese Formel kann verwendet werden, um die Umkehrung einer komplexen Zahl zu berechnen, wenn sie in kartesischen Koordinaten angegeben wird.

• ${displaystyle exp({overline {z}})={overline {exp(z)}}}$
• ${displaystyle log({overline {z}})={overline {log(z)}}}$ wenn ${Anzeigestil z}$ ist ungleich Null
• Im Allgemeinen, wenn ${Anzeigestil phi}$ ein holomorphe Funktion is , was die reellen Zahlen auf reelle Zahlen zurückbildet, und ${Anzeigestil phi(z)}$ ist definiert, dass

${displaystyle phi({overline {z}})={overline {phi(z)}}}$

Als Konsequenz ${displaystyle p}$ ein Polynom ist mit reellen Koeffizienten und ${Anzeigestil p(z)=0}$, dann auch ${displaystyle p({overline {z}})=0}$. Somit kann festgestellt werden, dass die nicht-reellen Wurzeln reeller Polynome in komplex konjugierten Paaren vorkommen.

Das Funktion${displaystyle phi(z)={overline {z}}}$ von ${displaystyle mathbb {C} }$ zu ${displaystyle mathbb {C} }$ ist ein Homöomorphismus, (Wert Topologie auf ${displaystyle mathbb {C} }$ als Standardtopologie angesehen). Dies scheint zwar eine gut erzogene Funktion zu sein, ist diese Funktion jedoch nicht Holomorph, schaltet die Funktion die Orientierung om, während bei holomorphen Funktionen die lokale Orientierung gleich bleibt. Die Funktion ist bijektiv und kompatibel mit Rechenoperationen, also auch Automorphismus. Da die Funktion die reellen Zahlen auf sich selbst abbildet, ist die Funktion ein Element von a Galois-Gruppe des Erweiterung${displaystyle mathbb {C} /mathbb {R} }$. Diese Galois-Gruppe hat nur zwei Elemente: ${Anzeigestil phi}$ und die Identität auf ${displaystyle mathbb {C} }$. Die einzigen beiden Automorphismen von ${displaystyle mathbb {C} }$ welche die reellen Zahlen auf sich selbst abbilden sind also die identisches Bild und die Funktion, die jede Zahl ihrer komplex Konjugierten zuordnet.

Als Variable verwenden

Das konjugierte ${displaystyle {overline {z}}}$ ist nützlich bei der Angabe Linien in dem eben.

${displaystyle {z:z{overline {r}} {overline {z}}r=0}}$

ist eine Linie durch die Ursprung und aufrecht auf ${displaystyle {overline {r}}}$ da der reale teil von ${displaystyle zcdot {overline {r}}}$ ist nur dann gleich Null, wenn die Kosinus von a Ecke zwischen ${Anzeigestil z}$ und ${displaystyle {overline {r}}}$ ist null.

Ebenso für eine feste komplexe Einheit ${displaystyle u=e^{bi}}$ dass die Gleichheit:

${displaystyle {frac {z-z_{0}}{{overline {z}}-{overline {z_{0}}}}}=u}$

durch die linie ${displaystyle z_{0}}$ bestimmt in Richtung ${Anzeigestil u.}$

Verallgemeinerungen

Auch die anderen planaren reellen Algebren, Dualzahlen und geteilten komplexen Zahlen lassen sich mit der komplex-konjugierten erklären.

Die konjugierte Matrix einer komplexen Matrix ist die allgemeine Form des Begriffs komplex konjugiert. Noch allgemeiner ist das Konzept der Operator hinzugefügt für Operatoren auf (möglicherweise unendlichdimensionalen) Komplexen Hilbert-Räume. All dies ist in den * Betrieben der . untergebracht C*-Algebren.

Man kann auch für die Quaternionen und die Coquaternionen definieren eine Konjugierte: die Konjugierte von

${displaystyle a bi cj dk}$

ist

${displaystyle a-bi-cj-dk}$.

Beachten Sie, dass all diese Verallgemeinerungen nur multiplikativ sind, wenn sich die Faktoren umkehren:

${displaystyle {left(zwight)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$

Da die Multiplikation planarer reeller Algebren kommutativ diese Umkehrung ist hier jedoch nicht erforderlich.

Es gibt auch ein abstraktes Verständnis der Konjugation von Vektorräume${Anzeigestil V}$ über die komplexen Zahlen. Beliebig (echt) lineare Transformation${displaystyle phi: Vightarrow V}$, was zufriedenstellend ist

1. ${displaystyle phi eq id_{V}}$, das identisches Bild auf ${Anzeigestil V}$,
2. ${displaystyle phi ^{2}=id_{V},}$, und
3. ${displaystyle phi (zv)={overline {z}}phi (v)}$ für alle ${displaystyle vin V}$, ${displaystyle-Satz mathbb {C} }$,

heißt in diesem Zusammenhang komplex konjugiert. Ein Beispiel für ein solches Konzept ist der Zusatz einer komplexen Matrix, wie oben definiert. Schließlich sollte beachtet werden, dass es auf allgemeinen komplexen Vektorräumen keinen kanonischen Begriff einer komplex Konjugierten gibt.