WikiDer > Burnsides Theorem

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, gibt dem Burnsides Theorem Bedingungen für die Löslichkeit von a endliche Gruppe.

Gestell

Sie ${Anzeigestil G}$ eine endliche Gruppe. Als die Auftrag von ${Anzeigestil G}$ des Formulars ${displaystyle p^{a}q^{b}}$ ist mit ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$Primzahlen und ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$nicht negativganze Zahlen, dann ist ${Anzeigestil G}$löslich.

Daraus folgt, dass alle nicht-abelsendliche einfache Gruppe hat eine Ordnung, die durch drei verschiedene teilbar ist Primzahlen.

Geschichte

Die Aussage war 1905bewährt durch William Burnside, mit Hilfe von Darstellungstheorie. Der Satz verallgemeinert einen der Sätze von Sylow, in dem der Fall diskutiert wird, in dem ${displaystyle b}$ gleich 0.

Der Satz von Burnside ist seit langem eine der bekanntesten Anwendungen der Darstellungstheorie auf die Theorie der endliche Gruppen, obwohl ein Beweis, der die Verwendung von Gruppenmerkmalen vermeidet, um 1970 von D. Goldschmidt veröffentlicht wurde.

Weite Linien von Burnsides Beweisen

1. Unter Verwendung von mathematische Induktion, es genügt zu beweisen, dass die Einzelgruppe${Anzeigestil G}$, deren Bestellung diese Form hat abels ist, so dass der Beweis mit der Annahme beginnt, dass ${Anzeigestil G}$ eine einfache Ordnungsgruppe ${displaystyle p^{a}q^{b}}$ ist, und versucht zu beweisen, dass ${Anzeigestil G}$ ist abel.
2. Mit der Sätze von Sylow, hast ${Anzeigestil G}$ oder ein Nicht-trivialCenter, oder hat ${Anzeigestil G}$ ein konjugieren klasse der Größe ${displaystyle p^{r}}$ für eine ganze Zahl ${displaystyle rgeq 1}$. Im ersten Fall, ${Anzeigestil G}$ abels sind der Einfachheit halber, daher kann davon ausgegangen werden, dass es a Element${Anzeigestil x}$ von ${Anzeigestil G}$ ist so, dass die konjugierte Klasse von ${Anzeigestil x}$ Größe ${displaystyle p^{r}>1}$ hast.
3. Anwendung der Spaltenorthogonalitätsbeziehungen und Eigenschaften der algebraische ganze Zahlen führen zur Existenz eines nicht-trivialen irreduzibler Charakter${Anzeigestil-Chi}$ von ${Anzeigestil G}$, so dass

   ${Anzeigestil |chi(x)|=chi(1)}$.

4. Die Einfachheit von ${Anzeigestil G}$ impliziert, dass jede komplexe irreduzible Darstellung mit Charakter ${Anzeigestil-Chi}$ ist treu, und daraus folgt ${Anzeigestil x}$ in dem Center von ${Anzeigestil G}$ steht im Gegensatz zu der Tatsache, dass die Größe der Konjugatklasse größer als 1 ist.

Verweise

1. James, Gordon und Liebeck, Martin, (2001). Darstellungen und Charaktere von Gruppen (Darstellungen und Merkmale von Gruppen) (2. Aufl.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X . Siehe Kapitel 31.
2. Fraleigh, John B., (2002) Ein erster Kurs in abstrakter Algebra (Ein erster Kurs in abstrakter Algebra) (7. Aufl.). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4 .