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Satz von Pascal

Das Satz von Pascal ist eine Aussage der Geometrie die formuliert wird von Blaise Pascal (1623-1662) und nach ihm benannt.

Gestell

Für ein Hexagon von denen die Scheitelpunkte auf einen Kegelschnitt liegend gilt:

wenn die drei gegnerischen Paare Seiten schneiden, liegen die drei the Kreuzungenauf der gleichen linie.

Pascal bewies den Satz in 1639 – er war damals kaum 16 Jahre alt – nach Kontakt mit Desargues (1591-1661). Er veröffentlichte den Satz inem 1640^[1] auf einem Blatt Papier, aber sein Manuskript dazu wurde nie gefunden.

In der Abbildung ist als Kegelschnitt a Ellipse gewählt; es kann auch a . sein Kreis, Parabel oder Hyperbel sein.

Satz von Pascal: Randfälle

Randfälle

Der Satz bleibt in allen Randfällen gültig.

• Wenn ein Paar gegenüberliegender Seiten des Sechsecks parallel dies kann als Grenzfall eines sich immer weiter entfernenden Schnittpunktes interpretiert werden. Die Linie durch die anderen beiden Schnittpunkte verläuft dann parallel zum Parallelpaar.
• Wenn es zwei Paare paralleler Seiten gibt, ist das dritte Paar notwendigerweise auch parallel.
• Bei weniger als sechs Punkten kann die Figur als Sechseck mit zwei oder mehr zusammenfallenden Punkten verstanden werden. Als "Seite" wird dann die Tangente an den Kegelschnitt an der betreffenden Stelle genommen.

Paskalline

Die Verbindungslinie dieser drei Schnittpunkte heißt a pascalline des Sechsecks.

Verwandte Aussagen

Das Satz von Pappos ist ein Spezialfall des Satzes von Pascal. Das Doppelversion des Satzes von Pascal, der Satz von Brianchon.

Im 1847 gegeben Möbius eine allgemeine Form des Satzes von Pascal:

Angenommen a Polygon mit ${Anzeigestil 4n 2}$ Seiten wird in einen Kegelschnitt eingeschrieben und Paare von gegenüberliegenden Seiten werden verlängert, bis sie sich in . schneiden ${Anzeigestil 2n 1}$ Punkte, dann, wenn ${Displaystil 2n}$ dieser Punkte liegen auf einer Linie, der letzte Punkt liegt auch auf dieser Linie.