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EIN Polygon oder Polygon (von dem Altgriechisch , Polygnion‚ Polygon, bestehend aus: πολύς, pols, viele und gōnia, Ecke) ist ein Geometer Figur in a ebene Fläche, gebildet durch eine geschlossene Kette einer endlichen Zahl Liniensegmente.

Das Äquivalent eines Polygons in drei Dimensionen heißt a Polyeder.

Allgemeines

Ein Polygon ist ein Zyklus von Scheitelpunkte mit dem verbinden Liniensegmente zwischen zwei aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten im Zyklus. Das Wort Zyklus gibt an, dass beispielsweise das Viereck ABCD das gleiche ist wie das Viereck BCDA, und die umgekehrte Reihenfolge DCBA beschreibt auch das gleiche Viereck. Die verbindenden Liniensegmente werden zum Seiten des Polygons. Im Beispiel sind dies die Seiten AB, BC, CD und DA. Jedes Polygon hat die gleiche Anzahl von Ecken wie seine Seiten. Die Seiten, kombiniert mit einer Durchgangsrichtung, bilden a freie Schleife. Ein Scheitelpunkt mit einem geraden Winkel hat keinen Einfluss auf die freie Schleife.

EIN regelmäßiges Vieleck ist definiert als ein Polygon mit allen gleich langen Seiten und allen Ecken die gleiche Größe. Ein Beispiel ist es Quadrat.

Wenn keine aufeinanderfolgenden Seiten ganz oder teilweise zusammenfallen, wird beim Verschieben entlang der Seiten immer eindeutig eine Drehung zwischen -180° und 180° vorgenommen. Dies wird manchmal als Außenwinkel bezeichnet, 180 ° minus Innenwinkel, nicht zu verwechseln mit dem gesamten Außenwinkel, der 360 ° minus Innenwinkel beträgt und bei Drehung nach links positiv eingestellt wird. Für diese Polygone gelten die folgenden Definitionen:

• Ein Polygon, bei dem alle Innenwinkel gegen den Uhrzeigersinn positiv sind und sich keine zwei Seiten schneiden, heißt konvex. Ein Polygon ohne sich schneidende Seiten, aber mit negativen Winkeln heißt konkav.
• Ein Polygon ist Singular wenn keine zwei Seiten Punkte gemeinsam haben, außer dass aufeinanderfolgende Seiten den Scheitelpunkt gemeinsam haben. Wenn nicht, wird das Polygon als selbstschneidend bezeichnet, da sich einige seiner Seiten schneiden. Ein Schnittpunkt wird nicht zu den Scheitelpunkten gezählt. Ein Beispiel ist es Pentagramm, ein regelmäßiges sich selbst schneidendes Fünfeck. Wenn die fünf inneren Liniensegmente weggelassen werden, entsteht ein sich nicht selbst schneidendes Zehneck, immer noch in Form eines Pentagramms. Ein Pentagramm ist a Sternpolygon. In einem Sternpolygon sind die Innenwinkel immer positiv, aber es gibt Seiten, die sich schneiden.

Bei Bewegung entlang der Seiten gegen den Uhrzeigersinn ergibt sich eine Gesamtdrehung von einem Vielfachen von 360°, in Gegenrichtung das Gegenteil. In einem regelmäßigen Sternpolygon entspricht die Anzahl der 360°, die die Drehung beträgt, der Wicklungszahl relativ zum Mittelpunkt: zum Beispiel ist es 2 bei einem Pentagramm. Bei der Bewegung entlang der Seiten wird fünfmal um 144 ° gedreht, der Außenwinkel, also 720 °, zweimal um 360 °, während die Mitte zweimal gedreht wird.

Bei einer "Diagonalen" macht man zwei Umdrehungen von plus oder minus 180°, je nach Wahl beträgt die Gesamtdrehung 0° oder plus oder minus 360°. Bei einem "Einwinkel" könnte man sagen, dass es eine Seite der Länge Null gibt, die Drehung ist nun völlig unbestimmt.

Bereich

Für eine genaue Definition ist die algebraische Topologie benutzt. Mit einem Polygon, das durch eine nicht überschreitende Grenze beschrieben wird, was allgemeiner als ein einfaches Polygon ist, kann man eine Fläche, eine Teilmenge der Ebene, bestehend aus den Seiten und der Fläche 'innen', zuordnen.^[1] Bewegt man sich entlang der aufeinanderfolgenden Seiten gegen den Uhrzeigersinn, ist die Fläche immer links, wobei zu beachten ist, dass dort, wo zwei Teile der Kontur zusammenfallen, die Fläche auf keiner Seite liegt und lokal nur aus dem Segment besteht, egal ob die Fläche auf beiden Seiten liegt . Der Bereich kann ein oder mehrere polygonale "Löcher" haben, muss es also nicht sein einzigartig verbunden sein.

Informationen, die verschwinden, wenn man nur die Fläche betrachtet, besteht aus Seiten der Länge Null, d.h. zusammenfallenden aufeinanderfolgenden Ecken und Ecken mit a geraden Winkel, und außerdem die Seiten oder Teile von Seiten, die zusammenfallen, mit 'innerer Fläche' auf beiden Seiten, so dass es keine Innenwinkel von 360° mehr gibt.

Das Wort Polygon wird auch für den vorgesehenen Bereich verwendet, aber normalerweise meint man einen Bereich ohne „Löcher“.

Arten von Polygonen

Ein einfaches konkaves Sechseck.

Ein komplexes Polygon.

Nach Typ

Polygone werden auch genannt taxonomisch klassifiziert, wie unten dargestellt Baumstruktur:

Nach Anzahl der Winkel

Polygone können nach der Anzahl der Seiten klassifiziert werden (diese Anzahl ist gleich der Anzahl der Scheitelpunkte):

Name	Griechischer Name	Anzahl der Seiten	Winkel des regelmäßigen Vielecks[2]	Summe der Winkel[2]
eine Ecke	monogon	1	unbestimmt	unbestimmt
Diagonale	digoon	2	0°	0°
Dreieck	trigone	3	60°	180°
Viereck	tetragon	4	90°	360°
Pentagon	Pentagon	5	108°	540°
Hexagon	Hexagon	6	120°	720°
Heptagon	Heptagon	7	ca. 128,6°	900°
Achteck	Achteck	8	135°	1080°
Hexagon	nonagon enneagon	9	140°	1260°
Zehneck	Zehneck	10	144°	1440°
Hexagon	Hendecagon	11	ca. 147,3°	1620°
Zwölfeck	Zwölfeck	12	150°	1800°
dreieckig	dreieckig triskaidecagon	13	ca. 152.308°	1980°
tetradecagon	tetradecagon	14	ca. 154,285°	2160°
Pentagon	fünfzehneck	15	156°	2340°
Hexagon	sechseckig	16	157,5°	2520°
siebeneckig	siebeneckig	17	ca. 158,82°	2700°
Achteck	achtzehneck	18	160°	2880°
neunzehneck	nonadecagon enneadecagon	19	ca. 161.052 °	3060°
Pentagon	icosagoon	20	162°	3240°
vierundzwanzig Ecke	icositetragon	24	165°	3960°
Polygon	chiliogoon	1,000	179.64°	179640°

Eigenschaften

Alle Eigenschaften eines regulären ${displaystyle n}$-Ecke mit Seite ${Anzeigestil a}$ sind in der beschrieben Euklidische Geometrie.

Summe der Winkel

Die Summe der Winkel eines Polygons mit ${displaystyle n}$ Ecken (${displaystyle ngeq 2}$) ist in Bogenmaß:

${Anzeigestil (n-2)pi}$

und in Grad:

${Anzeigestil (n-2)180=180n-360}$

Letzteres kann wie folgt verstanden werden:

• Entlang der Seiten entgegen dem Uhrzeigersinn wie oben, ergibt ein Polygon, das durch eine nicht überschreitende Grenze beschrieben wird, eine Gesamtdrehung von 360°. Die Drehung, die an einem Scheitelpunkt (dem Außenwinkel) ausgeführt werden muss, beträgt 180° minus dem Innenwinkel, woraus sich die oben genannte Formel einfach ergibt. Diese Überlegung gilt auch, wenn einige der Innenwinkel größer als 180° sind: Bewegt man sich gegen den Uhrzeigersinn an den Seiten des Polygons entlang, dreht man sich dort nach rechts, was als negative Drehung zählt. Die Begründung gilt auch für Innenwinkel von 0° und 360°, sofern man um 180° bzw. -180° gedreht wird.

Mit einem konvexen ${displaystyle n}$Winkel eins kann auch einer anderen Argumentation folgen; Dies kann unterteilt werden in (${Anzeigestil n-2}$) Dreiecke, wobei die Winkel des Polygons aus den Winkeln der Dreiecke bestehen, wobei für jedes die Summe der Winkel ${Anzeigestil pi}$ Bogenmaß oder 180°.

Innenwinkel eines regelmäßigen Vielecks

Aus dem Vorstehenden folgt, dass der Innenwinkel von a regelmäßiges Vieleck mit ${displaystyle n}$ Winkel im Bogenmaß:

${displaystyle {frac {(n-2)pi }{n}}}$

und in Grad:

${displaystyle {frac {(n-2)180}{n}}=180-{frac {360}{n}}}$

Beschrifteter Kreis

Der Radius ${displaystyle r}$ des eingeschriebener Kreis wird gegeben von:

${displaystyle r={frac {z}{2}},Kinderbett links({frac {pi }{n}}ight)}$

Umschriebener Kreis

Der Radius ${Anzeigestil R}$ des umschriebener Kreis wird gegeben von:

${displaystyle R={frac {z}{2}},csc left({frac {pi }{n}}ight)={frac {z}{2,sin left({frac {pi }{n}}ight )}}}$

Oberfläche

Das Oberfläche${Anzeigestil A}$ eines Polygons, das durch eine nicht überschreitende Grenze beschrieben wird, kann berechnet werden, wenn die kartesischen Koordinaten der Eckpunkte bekannt sind, nämlich:

${displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),ldots ,(x_{n},y_{n})}$

Die Scheitelpunkte müssen gegen den Uhrzeigersinn aufgelistet werden. Die Fläche berechnet sich dann wie folgt:

${displaystyle A={ frac {1}{2}}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2} ldots x_ {n}y_{1}-x_{1}y_{n})=}$

${displaystyle ={ frac {1}{2}}links(x_{1}(y_{2}-y_{n}) x_{2}(y_{3}-y_{1}) x_{3}(y_ {4}-y_{2}) ldots x_{n-1}(y_{n}-y_{n-2}) x_{n}(y_{1}-y_{n-1})ight)}$

Diese Formel heißt die Schnürsenkel Formel (Schnürsenkelformel, aufgrund des Multiplikationsmusters, wenn die x- und y-Koordinaten in zwei Spalten nebeneinander liegen) und wurde erstmals 1769 von Meister beschrieben und von described Gauss 1795. Der Beweis kann erbracht werden, indem man das Polygon in Dreiecke teilt, aber die Formel kann auch als Sonderfall der Satz von Green Green.

Der Bereich eines Stammkunden ${displaystyle n}$-Ecke mit Seite ${Anzeigestil z}$ beläuft sich auf:

${displaystyle { frac {1}{4}}nz^{2}cot left({frac {pi }{n}}ight)}$

Zum Beispiel für ein Quadrat mit einer Seite von 2:

${displaystyle { frac {1}{4}}cdot 4cdot 2^{2}cot left({frac {pi }{4}}ight)=4}$

Satz von Bolyai-Gerwien

Betrachtet man zwei einfache Polygone gleicher Fläche, kann eines in Polygonformen geschnitten werden, die zum zweiten Polygon verbunden werden können. Dies ist bekannt als die Satz von Bolyai-Gerwien.

Schnurpolygon

Ein Polygon mit a umschriebener Kreis heißt a String-Polygon. Alle regelmäßigen Polygone sind Sehnenpolygone, ebenso wie alle Dreiecke und Rechtecke.

Tangentiales Polygon

Ein Polygon mit a eingeschriebener Kreis heißt a Tangentialpolygon. Alle regelmäßigen Vielecke sind Tangentenpolygone, genau wie alle Dreiecke und Diamanten.

Bizentrisches Polygon

Ein Polygon, das sowohl ein Tangentialpolygon als auch ein Sehnenpolygon ist, wird als bizentrisches Polygon bezeichnet. Für bizentrische Polygone ist der Poncelets Porismus und der Satz von Weill.

Konstruieren regelmäßiger Polygone

Bau eines Fünfecks mit a Carlyle-Kreis

Nicht alle regelmäßige Vielecke könnte sein konstruiert mit Lineal und Zirkel. Das ausreichende Bedingung dies wird bestimmt durch Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796. Pierre Wantzel bewies 1836 die notwendige Bedingung. Dieser lautet:

Ein Stammkunde ${displaystyle n}$Winkel kann mit einem unmarkierten constructed konstruiert werden Herrscher und Kompass, dann und nur dann, wenn das seltsamPrimfaktoren von ${displaystyle n}$ verschiedene Primzahlen sind und können geschrieben werden als:

${Displaystil 2^{2^{n}} 1}$

Diese Primzahlen sind Fermat-Zahlen. Aus Wantzels Beweis folgt, dass ein Sechseck (mit Primfaktor 2 und 3) mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, ein Siebeneck jedoch nicht. Ein Fünfeck kann also mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, dies erfordert jedoch eine komplizierte Konstruktion.

Der einzige bekannte (und möglicherweise einzige) fermat Primzahlen sein:

• 3 — Dreieck
• 5 — Pentagon
• 17 — siebeneckig
• 257 — 257 Winkel
• 65537 — 65537 Ecke

Diagonalen

EIN Diagonale ist eine Verbindungslinie zwischen zwei verschiedenen, nicht aufeinander folgenden Eckpunkten des Polygons. Eine Diagonale muss nicht hindurchgehen Center vom Polygon gehen. Eine Diagonale kann auch außerhalb des Polygons liegen (dies gilt für eine oder mehrere Diagonalen nur dann, wenn das Polygon konkav ist).

Die Anzahl der Diagonalen eines Polygons mit ${displaystyle n}$ Ecken (${Anzeigestil n>2}$) beläuft sich auf ${displaystyle {frac {n(n-3)}{2}}}$.

Von jeder der n Ecken geht eine Diagonale zu jeder der ${displaystyle n}$ Ecken, ohne die beiden aufeinanderfolgenden Scheitelpunkte und sich selbst ${Anzeigestil (n-3)}$. Es gibt zwei Ecken auf jeder Diagonalen, daher das Ergebnis the ${Anzeigestil n(n-3)}$ muss durch zwei teilen.

Beispiele

Die obige Formel zeigt:

• ein Dreieck hat keine Diagonalen;
• ein Quadrat hat zwei Diagonalen;
• ein Pentagon hat fünf Diagonalen;

Fliesen

Polygone können regelmäßig sein oder nicht not Fliesen gemacht werden, wie sie in der arabischen Kunst und auch in den Grafiken von Escher. Jedes Dreieck und Viereck kann verwendet werden, um eine Kachelung zu erstellen, die nur aus diesen Formen besteht. Bei Fünfecken und Polygonen ist dies nur möglich, wenn das Polygon bestimmte Bedingungen erfüllt. Eine Kachelung eines regelmäßigen Vielecks ist nur mit dem bereits erwähnten Dreieck und Viereck und mit dem Sechseck möglich. Dies liegt daran, dass die Winkel eines Dreiecks (60°), eines Vierecks (90°) und eines Sechsecks (120°) alle Teiler von 360° sind. Dies gilt nicht für alle anderen Winkel regelmäßiger Vielecke.

Aufbau

Beliebiges Polygon mit ${displaystyle n}$ Ecken ist ein ${displaystyle n^{2}}$Aufbau.

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