WikiDer > Transfinite Zahl

EIN transfinite Zahl ist ein Kardinalzahl oder Ordinalzahl das größer als alles endlich Zahlen, aber nicht unbedingt was George Cantor namens "absolut unendlich". Der Begriff transfinit wurde von Cantor geprägt, der einige der Bedeutungen des Wortes verstand unendlich wollte vermeiden, dies in Verbindung damit Objekte das nicht endlich sein. Nur wenige Mathematiker scheuen heute den Begriff der Unendlichkeit; es ist heute allgemein anerkannte Praxis, transfinite Kardinal- und Ordnungszahlen als "unendlich" zu bezeichnen. Der Begriff "transfinit" wird jedoch auch weiterhin verwendet.

Die transfiniten Ordinalzahlen und Kardinalzahlen fallen nicht zusammen, wie die endlichen Ordinalzahlen und Kardinalzahlen. Die erste transfinite Ordinalzahl wird mit bezeichnet; danach folgt ω 1, ω 2, ..., ω ω = 2ω, 3ω, 4ω, ..., ωω = ω²,³, ...,^ω, ...

Der erste transfinite Kardinal ist ${displaystyle aleph_{0}}$ (aussprechen: aleph-null), dies ist die Kardinalität von natürliche Zahlen, und allgemeiner von allen abzählbar unendlich Sammlungen. ${displaystyle aleph_{0}}$ hat die folgenden Eigenschaften, für ${displaystyle xleq aleph _{0}}$:

• ${displaystyle aleph _{0} x=aleph _{0}}$
• ${displaystyle aleph _{0} imes x=aleph _{0}}$

Und für endlich ${Anzeigestil x}$:

• ${displaystyle aleph _{0}^{x}=aleph _{0}}$

Zu einer größeren kardinalen Unendlichkeit als ${displaystyle aleph_{0}}$ um zu erreichen, muss man zur Macht aufsteigen ${displaystyle aleph_{0}}$:

• ${displaystyle 2^{aleph _{0}}>aleph _{0}}$

Bedeutung

Die transfinite Zahl ${displaystyle aleph_{0}}$ ist die Kardinalität der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen, der rationalen Zahlen und der algebraischen Zahlen.

${displaystyle aleph _{0}=|mathbb {N} |=|mathbb {Z} |=|mathbb {Q} |=|mathbb {A} |.}$

Unter dem Kontinuumshypothese ist ${displaystyle aleph _{1}=2^{aleph _{0}}}$ die Kardinalität der reellen Zahlen, der transzendenten Zahlen, der komplexen Zahlen, der Punkte auf einer Geraden oder einem Segment und auch der Punkte im Universum. Also unter anderem:

${displaystyle aleph _{1}=2^{aleph _{0}}=|mathbb {R} |=|mathbb {C} |}$

Dann ist ${displaystyle aleph _{2}=2^{aleph _{1}}}$ die Kardinalität der reellen Funktionen einer reellen Variablen.

Vor dem ${displaystyle aleph _{3}=2^{aleph _{2}}}$ und die nächste Interpretation wird immer schwieriger.