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Die berühmte mathematische Konstante Pi (π) ist eine der bekanntesten irrationalen Zahlen

EIN irrationale Zahl ist ein reelle Zahl das nicht Rationale Zahl ist. Rationale und irrationale Zahlen ergeben zusammen die reellen Zahlen. Weil rationale Zahlen die Quotient (Bruchteil) von zwei sein ganze Zahlen, eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind ${displaystyle {sqrt {2}}}$ (das Quadratwurzel ab 2), ${Anzeigestil pi}$ (Pi) und e.

Das Pythagoräer bewiesen, dass die Quadratwurzel von 2 nicht Rationale Zahl ist. Da im Bild der Pythagoräer nur rationale Zahlen existierten, waren die Menschen darüber sehr schockiert. Sie versuchten, die Beweise nicht offenzulegen. Die meisten reellen Zahlen sind irrational, die Anzahl der rationalen Zahlen ist abzählbar unendlich, die Zahl der irrationalen Zahlen ist unzählbar.

Es ist nicht immer leicht zu bestimmen (und beweisen), ob eine reelle Zahl rational oder irrational ist. Des Eulersche Konstante es ist nicht bekannt, ob diese Zahl rational ist oder nicht.

Geschichte

Die Entdeckung der Irrationalität der Zahlen ${displaystyle {sqrt {2}}}$ spielt eine wichtige Rolle in den Legenden über die Pythagoräer.

Der Begriff der Irrationalität wird seit dem 7. Jahrhundert v. Chr. implizit von Indische Mathematiker, als Manava, etwa 750-690 v. Chr., glaubte, dass die Quadratwurzel von bestimmten Zahlen wie 2 und 61 konnte nicht genau bestimmt werden.^[1] Eine andere Quelle gibt sogar an, dass Nilakantha die irrationalen Zahlen in Indien bereits 1500 v. Chr. bemerkt hätte.^[2]

Der Erste Beweis der Existenz irrationaler Zahlen wird üblicherweise angenommen Hippasus zugeschrieben, ein Mathematiker aus der pythagoreische Schule.^[3] Hippasus hat diese Entdeckung wahrscheinlich gemacht, als er die Seiten von dem Pentagramm.^[4] Die damals aktuelle pythagoräische Methode ging davon aus, dass es eine ausreichend kleine, unteilbare Einheit geben muss, die gleichmäßig in eine dieser Längen sowie in die anderen passt. Hippasus war im 5. Jahrhundert v. kann jedoch ableiten, dass tatsächlich keine gemeinsame unteilbare Maßeinheit existieren könnte und dass die Behauptung einer solchen Existenz zu a . führt Widerspruch LED. Er tat dies, indem er zeigte, dass wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen Rechtecks Dreieck tatsächlich kommensurabel ist mit einem der Schenkel des Dreiecks gleichzeitig diese Maßeinheit seltsam und Ein bisschen sein sollte, was unmöglich ist.

Seine Argumentation ist eine nach der unendlicher Abstieg und entspricht dem Beweis, dass Quadratwurzel 2 irrational ist. Es geht so:

• Das Verhältnis der Hypotenuse zu einem Schenkel eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks ist ${Anzeigestil a:b,}$ in kleinstmöglichen Einheiten ausgedrückt.
• Laut der Satz des Pythagoras gilt: ${Anzeigestil a^{2}=2b^{2}}$.
• So ${Displaystil a^{2}}$ ist gerade, und dann ist es auch ${Anzeigestil a}$ gerade, da das Quadrat einer ungeraden Zahl auch eine ungerade Zahl ist.
• Schon seit ${Anzeigestil a:b}$ in seinen kleinsten Worten ausgedrückt, muss ${displaystyle b}$ seltsam sein.
• Schon seit ${Anzeigestil a}$ sogar, spät ${Anzeigestil a=2y}$ sein.
• Dann so ${Anzeigestil a^{2}=4y^{2}=2b^{2}}$
• So ist ${displaystyle b^{2}=2y^{2}}$, so dass ${displaystyle b^{2}}$ sollte eine Weile dauern.
• Aber dann auch ${displaystyle b}$ Ein bisschen.
• Das ist in Widerspruch mit der Beobachtung, dass ${displaystyle b}$ sollte ungerade sein.^[5]

In dem antike griechische mathematik dieses Verhältnis inkommensurabler Größen hieß alogosoder unaussprechliche Größen.

Hippasus wurde nicht für seinen Beweis gelobt: Der Legende nach machte er seine Entdeckung auf See. Seine Mit-Pythagoräer hätten ihn dann prompt über Bord geworfen "... dies, weil er ein Element im Universum gefunden hatte, das die Lehre leugnete... dass alle Phänomene im Universum auf ganze Zahlen und ihre Proportionen reduziert werden können."^[6] Eine andere Legende besagt, dass Hippasus lediglich ins Exil geschickt wurde. Was auch immer die persönlichen Konsequenzen für Hippasus waren, es ist sicher, dass seine Entdeckung ein dramatisches Problem für die pythagoreische Mathematik und Philosophie darstellte, weil die Hauptprämisse dieser Bewegung, dass Zahl und Geometrie untrennbar sind, widerlegt wurde. Das Fundament wurde unter ihrer Theorie weggefegt.

Theodor von Kyrene bewies die Irrationalität der n-te Wurzel von ganze Zahlen bis 17, aber wahrscheinlich aufgehört, weil die von ihm verwendete Algebra nicht auf die Quadratwurzel von 17 angewendet werden konnte.^[7]

Es war erst danach Eudoxus von Knidos entwickelte seine Verhältnistheorie, die sowohl irrationale als auch rationale Verhältnisse berücksichtigte, und legte eine solide mathematische Grundlage für die irrationalen Zahlen.^[8] Eine Größe „war keine Zahl, sondern stand für Größen wie Segmente, Winkel, Flächen, Volumen und Zeit, Größen, die, wie wir sagen würden, kontinuierlich variieren können. Größen wurden gegen ganze Zahlen aufgetragen, die sich von einem Wert zum anderen bewegen. springen, wie von 4 auf 5."^[9] Zahlen bestehen aus einer kleinsten, unteilbaren Einheit, während Größen unendlich klein gemacht werden kann. Da den Größen keine quantitativen Werte zugewiesen wurden, konnte Eudoxos sowohl kommensurable als auch inkommensurable Proportionen berücksichtigen, indem ein Größenverhältnis und Proportion als Gleichheit zwischen zwei Proportionen definiert wurde. Indem er quantitative Werte (Zahlen) aus der Gleichung entfernte, umging er die Falle, eine irrationale Zahl als Zahl ausdrücken zu wollen. Die Theorie von Eudoxos ermöglichte den griechischen Mathematikern enorme Fortschritte in der Geometrie, da diese Theorie die notwendige logische Grundlage für inkommensurabel Beziehungen.^[10] Buch 10 von Euklid sein Elemente widmet sich der Klassifikation irrationaler Größen.

Andere Beispiele

Einige bekannte irrationale Zahlen sind:

• Die Nummer ${displaystyle e}$, dessen dezimale Entwicklung mit 2,718 281 828 459 ... beginnt, ist eine fundamentale Konstante, die zuerst von erforscht wurde Leonhard Euler. Es ist ein transzendente Zahl. Die Zahl bildet die Grundlage des natürlichen Logarithmus. Exponentielles Wachstum mit ${displaystyle e}$ als basis hat sich wie Derivat. Die Nummer ${displaystyle e}$ spielt auch eine große Rolle in der komplexe Zahlen.
• Die Nummer ${Anzeigestil pi}$, deren dezimale Entwicklung bei 3,141 592 653 58 ... beginnt, ist das Verhältnis zwischen den Durchmesser und der Umfang von a Kreis. Auch dies ist eine transzendente Zahl und eine fundamentale Konstante, die an vielen Stellen der Mathematik auftaucht. Es gibt sogar ein Pi-Tag gefeiert.
• Das Goldener Schnitt${Anzeigestil Varphi }$, die Zahl ½ ½√5, ergibt sich aus a Verhältnis in denen a Liniensegment wird aufgeteilt. Dieses Verhältnis ist so, dass der Hauptteil zum Nebenteil gleich dem gesamten Liniensegment zum Hauptteil ist.
• Das Feigenbaums Konstante δ, dessen dezimale Entwicklung bei 4.669 20... beginnt, ist die wichtige Konstante im Chaostheorie.
• Das Apery . Konstante (3)
• Karotte 2 √2
• Karotte 3 √3
• Karotte 5 √5