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In dem Mengenlehre, eine Unterregion der Mathematik, ist der Kontinuumshypothese ein von George Cantor aufgestellt im Jahr 1877 Hypothese über die mögliche Größe von unendlichKollektionen. Die Hypothese lautet:

Es gibt keine Menge, deren Kardinalität zwischen der Kardinalität der ganzen Zahlen und der Kardinalität der reellen Zahlen liegt.

Das Kontinuumshypothese besagt, dass die Kardinalität der Sammlung reale Nummern (es Kontinuum) Der Erste unzählbar Kardinalzahl, d.h. die erste Kardinalzahl ist größer als die Kardinalität der natürliche Zahlen.

Kardinalität unendlicher Mengen

Zwei Sätze sollen gleich sein Kardinalität oder das gleiche Kardinalzahl haben wenn es einen gibt bijektion (eine Eins-zu-eins-Entsprechung) zwischen diesen beiden Kollektionen existiert. Intuitiv gesprochen haben zwei Sammlungen so und T die gleiche Kardinalität wie möglich Elemente von so so gegen Elemente von T um zu streichen, dass jedes Element von so ist mit genau einem Element von verknüpft T und umgekehrt jedes Element von T ist mit genau einem Element von verknüpft so. Daher hat zum Beispiel die Menge {Banane, Apfel, Birne} dieselbe Kardinalität, drei, wie die Menge {Gelb, Rot, Grün}.

Mit unendliche Sammlungen, wie die Menge von ganze Zahlen oder der Rationale Zahlen, wird es viel komplizierter zu zeigen, dass Elemente gegeneinander aufgehoben werden können. Das Rationale Zahlen scheinen ein Gegenbeispiel zur Kontinuumshypothese zu sein: Die rationalen Zahlen bilden einerseits a Super-Set des ganze Zahlen und auf der anderen Seite a Teilmenge der reellen Zahlen. Intuitiv könnte man daher erwarten, dass es mehr rationale Zahlen als ganze Zahlen und weniger rationale Zahlen als reelle Zahlen gibt. Es stellt sich jedoch heraus, dass die rationalen Zahlen in Eins-zu-eins-Korrespondenz kann mit den ganzen Zahlen platziert werden, so dass die Menge der rationalen Zahlen die gleiche Größe wie die Menge der ganzen Zahlen hat; beide sind zählbare Sammlungen.

Cantor gab zwei beweisen dass die Kardinalität der Menge von ganze Zahlen ist streng kleiner als die Menge von reale Nummern; Sein zweiter Beweis ist es Kantordiagonalbeweis. Seine Beweise geben jedoch keinen Hinweis darauf, inwieweit die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen geringer ist als die Mächtigkeit der reellen Zahlen. Als mögliche Antwort auf diese Frage schlug Cantor die Kontinuumshypothese vor.

Die Zahl der natürlichen Zahlen ist per Definition abzählbar unendlich, und wird bezeichnet mit ${displaystyle aleph_{0}}$ (Aussage: Aleph null; aleph ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets). Mit seinem diagonaler Beweis Cantor zeigte, dass die Zahl der reale Nummern, bezeichnet als C, ist größer als ${displaystyle aleph_{0}}$. Aus dem Diagonalbeweis folgt jedoch nicht, dass C gleich ist ${displaystyle aleph_{1}}$, Der Erste Kardinalzahl größer als ${displaystyle aleph_{0}}$. Dazwischen können beliebig viele Kardinalzahlen liegen ${displaystyle aleph_{0}}$ und C Lüge.

Die Hypothese besagt, dass die Menge der reellen Zahlen eine minimal mögliche Kardinalität hat, die größer ist als die Kardinalität der Menge der ganzen Zahlen. Ebenso, wenn die Kardinalität der ganzen Zahlen ist gleich ${displaystyle aleph_{0}}$ und der Kardinalität der reellen Zahlen gleich

${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$,

die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt ${Anzeigestil S}$ existiert, für die gilt, dass

${displaystyle aleph _{0}<|S|<2^{aleph _{0}}.}$

Angenommen, die Axiom der Wahl Gibt es eine kleinste Kardinalzahl? ${displaystyle aleph_{1}}$ größer als ${displaystyle aleph_{0}}$. Die Kontinuumshypothese wiederum ist äquivalent zur Gleichheit

${displaystyle 2^{aleph _{0}}=aleph _{1}.}$

Es gibt auch eine Verallgemeinerung der Kontinuumshypothese, die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) wird genannt. Diese Hypothese besagt, dass für alle Ordnungszahlen${displaystyle alpha ,}$

${displaystyle 2^{aleph _{alpha }}=aleph _{alpha 1}.}$

Eine Konsequenz der Hypothese ist, dass jeder unendlichTeilmenge der reellen Zahlen oder gleich Kardinalität wenn die ganzen Zahlen entweder die gleiche Kardinalität wie die ganze Menge der reellen Zahlen haben.

Unentscheidbarkeit innerhalb der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie

Die Feststellung der Wahrheit oder Unwahrheit der Kontinuumshypothese ist die erste der 23 Probleme von Hilbert Probleme aus dem Jahr 1900. Die Beiträge von Kurt Gödel 1940 und ab and Paul Cohen 1963 zeigte, dass bei der Verwendung der AxiomFotos von der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, der gebräuchlichsten Mengenlehre in der modernen Mathematik, kann die Kontinuumshypothese weder widerlegt noch bewährt, vorausgesetzt, die Mengenlehre konsistent ist.

Unter Verwendung der Kontinuumshypothese wird die Anzahl der reellen Zahlen im Kontinuum C gleich ${displaystyle aleph_{1}}$. Ohne die Kontinuumshypothese kann es unendlich viele geben ${Anzeigestil Aleph}$sind dazwischen ${displaystyle aleph_{0}}$ und C. Beide Möglichkeiten sind gleichermaßen plausibel: die eine ist weder mehr noch weniger wahr als die andere.

Argumente für und gegen die Kontinuumshypothese

Gödel glaubte, dass die Kontinuumshypothese (CH) falsch ist und dass sein Beweis, dass CH konsistent soll nur zeigen, dass die Zermelo-Fraenkel-Axiome das Universum der Mengen nicht ausreichend beschreiben. Gödel war ein Platoniker und hatte somit kein Problem damit, seine Meinung über die Wahrheit und Unwahrheit von Aussagen unabhängig von ihrer Beweisbarkeit auszudrücken. Cohen, der mehr ist Formalist neigte auch dazu, die CH abzulehnen.

Historisch gesehen haben Mathematiker, die einen "wohlhabenden" und "großen" Universum von Sets favorisierten die CH, während diejenigen, die ein "Netto"- und "kontrollierbares" Universum favorisierten, die Kontinuumshypothese bevorzugten. Parallel dazu wurden dafür und dagegen argumentiert Axiom der Konstruierbarkeit, was das CH impliziert, wird geäußert. In jüngerer Zeit, Matthew Vorarbeiter wies darauf hin, dass es ontologischer Maximalismus argumentiert tatsächlich für CH, denn unter Modellen mit gleichen reellen Zahlen haben Modelle mit "mehr" Mengen reeller Zahlen eine bessere Chance, die Kontinuumshypothese zu erfüllen (Maddy 1988, S. 500).

Eine andere Ansicht ist, dass das konzeptionelle Verständnis einer Menge nicht spezifisch genug ist, um zu bestimmen, ob CH wahr oder falsch ist. Diese Position wurde bereits 1923 von taken Thoralf Skolem, noch vor dem ersten Gödels Unvollständigkeitssatz. Skolem beschwor das, was heute als . bekannt ist Paradoxon von Skolem. Seine Position wurde später durch die Unabhängigkeit von CH von den Axiomen des ZFC gestützt, da die ZFC-Axiome allein ausreichen, um die elementaren Eigenschaften von Mengen und Kardinalitäten zu bestimmen. Um dieser Ansicht entgegenzuwirken, würde es genügen, intuitiv zu bestimmen, ob neue Axiome wahr oder falsch sind, und auch CH intuitiv als wahr oder falsch aufzulösen. obwohl es Axiom der Konstruierbarkeit CH wird das Axiom der Konstruierbarkeit im Allgemeinen nicht als intuitiv wahrer angesehen, als die Kontinuumshypothese allgemein als falsch angesehen wird (Kunen 1980, S. 171).

Mindestens zwei weitere Axiome wurden vorgeschlagen, die Implikationen für die Kontinuumshypothese haben, obwohl diese Axiome derzeit in der mathematischen Gemeinschaft keine breite Akzeptanz finden. 1986 präsentiert Chris Freiling ein Argument gegen CH, indem gezeigt wird, dass die Negation von CH äquivalent zu der Freilingsches Symmetrieaxiom, eine Aussage über Wahrscheinlichkeiten. Freiling glaubt, dass sein Axiom "intuitiv wahr" ist, aber andere sind anderer Meinung. Ein schwieriges Argument gegen CH, das von W. Hugh Woodin erhoben wurde, hat seit dem Jahr 2000 viel Aufmerksamkeit erfahren (Woodin 2001a, 2001b). Foreman (2003) weist Woodins Argumente nicht zurück, mahnt aber zur Vorsicht.

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese

Das verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH), entworfen 1908 von Felix Hausdorff, ist eine Erweiterung der Kontinuumshypothese. Der GCH stellt fest, dass für alle Ordnungszahlen, ${displaystyle alpha ,}$, zählt das

${displaystyle 2^{aleph _{alpha }}=aleph _{alpha 1}}$

Externe Quellen

• (und) Cohen,PaulJ. (15. Dezember 1963). Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 50 (6): 1143–1148.
• (und) Cohen,PaulJ. (15. Januar 1964). Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese, II (Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese). Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 51 (1): 105–110.
• (und) Vorarbeiter, Matt, Ist die Kontinuumshypothese geklärt? (PDF) (2003).
• (und) McGough, Nancy, Die Kontinuumshypothese.
• (und) Woodin, W. Hugh (2001a). Die Kontinuumshypothese, Teil I (PDF-Datei). Hinweise des AMS 48 (6): 567–576.
• (und) Woodin, W. Hugh (2001b). Die Kontinuumshypothese, Teil II (PDF-Datei). Hinweise des AMS 48 (7): 681–690.