WikiDer > Abelsches Integral

In dem Mathematik, vor allem in Mathematik Analyse, ist ein abelsches Integral, benannt nach dem Norweger MathematikerNiels Abel, eine Funktion in Form eines Integrals im komplexe Ebene:

${displaystyle int _{z_{0}}^{z}R(x,w),mathrm {d} x}$,

in welchem ${Anzeigestil R(x,w)}$ ein rationale Funktion besteht aus zwei Variablen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil w}$ die durch die Gleichung verbunden sind related

${Anzeigestil F(x,w)=0}$

mit ${Anzeigestil F(x,w)}$ ein irreduzibelPolynom im ${Anzeigestil w}$, nämlich

${displaystyle F(x,w)=varphi _{n}(x)w^{n} ldots varphi _{1}(x)w varphi _{0}(x)}$

deren Koeffizienten ${displaystyle varphi _{j}(x)}$ rationale Funktionen von ${Anzeigestil x}$ sein.

Der Wert des Integrals hängt nicht nur von den Integrationsgrenzen ab, sondern auch vom Weg, über den die Integration erfolgt. Ein abelsches Integral ist also a mehrwertige Funktion von ${Anzeigestil z}$.

Abelsche Integrale sind die natürlichen Verallgemeinerungen von elliptische Integrale, die aus der Beziehung entstehen

${Anzeigestil F(x,w)=w^{2}-P(x)}$,

in welchem ${Anzeigestil P(x)}$ ist ein Polynom dritten oder vierten Grades. Ein Polynom ${Anzeigestil P(x)}$ höheren Grades gibt als Sonderfall die hyperelliptisches Integral.

Moderne Generalisierung

In der Theorie von Riemann Oberflächen ist ein abelsches Integral a Funktion was mit dem zusammenhängt primitive Funktion eines Differentials erster Art. Nehmen Sie eine Riemann-Fläche ${Anzeigestil S}$ und setze das weiter ein ${Anzeigestil S}$ befindet sich auf a 1-Differentialform${Anzeigestil Omega}$ das überall Holomorph Ist eingeschaltet ${Anzeigestil S}$, und bestimmen Sie a Punkt${Anzeigestil P}$ im ${Anzeigestil S}$, woher integriert wird werden. Dann kann man

${displaystyle int _{P}^{Q}omega }$

als mehrwertige Funktion betrachten ${Anzeigestil f(Q)}$, oder (besser) eine (reelle) Funktion des gewählten Weges ${Anzeigestil C}$ abgebildet auf ${Anzeigestil S}$ von ${Anzeigestil P}$ zu ${Anzeigestil Q}$. Schon seit ${Anzeigestil S}$ im Allgemeinen mehrfach zusammenhängend wird sein, man muss ${Anzeigestil C}$ spezifizieren, aber der Wert des Integrals hängt nur von der Homologieklasse von ab ${Anzeigestil C}$modular Zyklen an ${Anzeigestil S}$.

Für den Fall, dass ${Anzeigestil S}$ ein kompaktRiemann-Oberfläche von Gattung1 das heißt, a elliptische Kurve, solche Funktionen sind die elliptische Integrale. Logischerweise muss ein abelsches Integral also eine Funktion haben wie ${displaystyle f}$ sein.

Solche Funktionen wurden eingeführt, um die hyperelliptischen Integrale zu studieren, d. h. für den Fall, dass ${Anzeigestil S}$ ist eine hyperelliptische Kurve. Dies ist ein natürlicher Schritt in der Theorie der Integration für den Fall von Integralen, wo algebraische Funktionen${displaystyle {sqrt {A}}}$ eine Rolle spielt und wo ${Anzeigestil A}$ ein Polynom einen Grad größer als 4 hat. Die ersten wichtigen Erkenntnisse zu dieser Theorie wurden gewonnen von Niels Abel; Später wurden diese Erkenntnisse in Bezug auf die Jacobi-Varietät vari . umformuliert ${Displaystil J(S)}$. Die Wahl des ${Anzeigestil P}$ führt zu einem Standard holomorphBild

${displaystyle-Sichtpfeil J(S)}$

von komplexe Sorten. Sie hat die definierende Eigenschaft, dass die holomorphe 1-Form auf ${Displaystil J(S)}$, davon gibt es ${displaystyle g}$ unabhängig sein, wenn ${displaystyle g}$ die Gattung ist von is ${Anzeigestil S}$, zieht sich auf eine Basis für die Differentiale der ersten Art von zurück ${Anzeigestil S}$.

Externe Links

Abelsche Integrale und Abelsche Funktionen

Literatur

• Griffiths, P. & Harris, J. - Prinzipien der algebraischen Geometrie (Prinzipien der algebraischen Geometrie), Springer-Verlag Berlin