WikiDer > Gattung (Mathematik)

In dem Mathematik hat das verständnis Gattung eine Reihe unterschiedlicher, aber eng verwandter Bedeutungen.

Topologie

Orientierbare Oberfläche

Es Gattung von a kohärentorientierbarOberfläche ist ein gerade Zahl was die maximale Anzahl von Schnittpunkten entlang geschlossener einfacher Kurven (die sich nicht schneiden) ohne das resultierende Vielfalt wird unzusammenhängend. Die Gattung ist gleich der Zahl Griffe auf die Vielfalt. Eine alternative Definition der Gattung ist in Bezug auf die Euler-Charakteristik${Anzeigestil-Chi}$, unter Berücksichtigung der Beziehung ${Displaystil-Chi=2-2g}$ vor dem geschlossene Oberflächen, in welchem ${displaystyle g}$ die Gattung ist. Für Oberflächen mit ${displaystyle b}$Kanten die Gleichung lautet wie folgt:

${Displaystil-Chi = 2-2g-b}$

Beispielsweise:

• EIN Ambiente, Scheibe und Kreisring haben alle Gattung 0.
• EIN torus hat Gattung 1, genau wie die Oberfläche einer einohrigen Teetasse.

Eine explizite Konstruktion von Flächen der Gattung ${displaystyle g}$ kann mit Fundamental definiert werden Polygone.

• Gattung der orientierbaren Oberflächen
• 

  Geschlecht 0

• 

  Gattung 1

• 

  Gattung 2

• 

  Gattung 3

Nicht orientierbare Oberfläche

Es (nicht orientierbar) Gattung eines zusammenhängenden, nicht orientierbaren geschlossenen Oberfläche ist positiv gerade Zahl dass die Zahl Kreuzbänder das ist an a . gepinnt Ambiente. Alternativ kann eine geschlossene Fläche definiert werden durch Euler-Charakteristik${Anzeigestil-Chi}$, durch die Beziehung ${Displaystil-Chi = 2-k}$, in welchem ${displaystyle k}$ ist die nicht orientierbare Gattung.

Beispielsweise:

• EIN projektive Ebene hat eine nicht orientierbare Gattung von 1.
• EIN kleine Flasche hat eine nicht orientierbare Gattung 2.

Taste

Es Gattung von a Taste${Anzeigestil K}$ ist definiert als die minimale Gattung von allen seifert Oberflächen vor dem ${Anzeigestil K}$. Eine seiferte Fläche eines Knotens ist jedoch a Sorte mit Rand, wobei die Grenze der Knoten ist, d.h. homöomorph zum Einheitskreis. Die Gattung einer solchen Oberfläche ist definiert als die Gattung der Zweimannigfaltigkeit, die durch die Einheitsscheibe entlang des Randes kleben.

Algebraische Geometrie

Es gibt zwei verwandte Definitionen von Gattung einer projektiven Algebra planen${Anzeigestil X}$: es arithmetische Gattung und der geometrische Gattung. Wann ${Anzeigestil X}$ ein algebraische Kurve ist mit dem Definitionsfeld de komplexe Zahlen, und wenn ${Anzeigestil X}$ Nein einzelne Punkte dann stimmen diese beiden Definitionen überein und stimmen mit der topologischen Definition überein, die für die . gilt Riemann-Oberfläche von ${Anzeigestil X}$ (sein Vielfalt komplexer Punkte). Die Definition von a elliptische Kurve aus der algebraischen Geometrie ist a nicht singuläre Kurve der Gattung 1 mit einem gegebenen rational Punkt auf der Kurve.

Siehe auch

• Gruppe