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In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist der affine Gruppe oder der allgemeine affine Gruppe von a affiner Raum über einen Körper/Feld${Anzeigestil K}$ das Gruppe von allen invertierbaraffine Transformationen dieses Raumes. Die Gruppenbearbeitung ist die Funktionszusammenstellung.

Die affine Gruppe ist a Lügengruppe wenn ${Anzeigestil K}$ ein Real, Komplex oder quaternionisch Körper/Feld.

Definition

Eine invertierbare affine Transformation ${displaystyle f_{A,a}:V oder V}$ von a Vektorraum${Anzeigestil V}$ ist von der Form

${Anzeigestil f_{A,a}(v)=Av a}$,

mit ${displaystyle Ain Mathrm {GL} (V)}$ ein Isomorphismus von ${Anzeigestil V}$, und ${Anzeigestil a}$ ein festes Element von ${Anzeigestil V}$.

Die Transformation ${displaystyle f_{A,a}}$ setzt sich also zusammen aus dem Isomorphismus ${Anzeigestil A}$ und ein Übersetzung über den Vektor ${Anzeigestil a}$.

Es gilt:

${displaystyle (f_{A,a}circ f_{B,b})(v)=f_{A,a}(f_{B,b}(v))=f_{A,a}(zB b)= ABv Ab a=f_{AB,Ab a}(x)}$

So

${displaystyle f_{A,v}circ f_{B,w}=f_{AB,Ab a}}$

und auch:

${displaystyle f_{A,a}(v)=yLinksrechtspfeil Av a=yLinksrechtspfeil v=A^{-1}y-A^{-1}a}$

so dass:

${Anzeigestil f_{A,v}^{-1}=f_{A^{-1},(-A^{-1}a})}$

Die invertierbaren, affinen Transformationen bilden somit eine Gruppe, die affine Gruppe oder allgemeine affine Gruppe, bezeichnet durch ${displaystyle mathrm {AGL} (V)}$^[1], ${displaystyle mathrm {Aff} (V)}$^[2] oder ${Displaystil-Mathematik {GA} (V)}$^[3].

wenn ${Anzeigestil V=K^{n}}$ das ${displaystyle n}$-dimensionaler Raum über dem Körper/Feld ${Anzeigestil K}$ , die affine Gruppe wird geschrieben als ${displaystyle mathrm {AGL} _{n}(K)}$. In einem Kontext, in dem ${Anzeigestil K}$ klar, heißt auch nur der Parameter ${displaystyle n}$ angegeben, zum Beispiel ${displaystyle mathrm {Aff} (n)}$.

Für endlich ${Anzeigestil K}$ mit ${Anzeigestil q}$ Elemente, schreibt man einfach ${displaystyle mathrm {AGL} _{n}(q)}$, denn ein endlicher Körper/Körper ist bis auf Isomorphie eindeutig durch die Anzahl der Elemente bestimmt.

Die affine Gruppe ${displaystyle mathrm {Aff} (n)}$ des ${displaystyle n}$-dimensional euklidischer Raum mit Elementen ${displaystyle Axb}$ hat mehrere wichtige Untergruppen:

• allgemeine lineare Gruppe${displaystyle mathrm {GL} (n)}$ mit Elementen ${displaystyle Axt}$, der Ursprung bleibt bestehen
• euklidische Gruppe${displaystyle mathrm {E} (n)}$ oder ${displaystyle mathrm {ISO} (n)}$ (das Isometrien, also keine Verzerrung oder Vergrößerung/Verkleinerung)
• orthogonale Gruppe${displaystyle mathrm {O} (n)}$ (der Schnittpunkt der beiden: die Isometrien, bei denen der Ursprung an Ort und Stelle bleibt)

Darüber hinaus gibt es die Untergruppen davon, in denen die bestimmend der fraglichen Matrix ist 1^[4]:

• spezielle lineare Gruppe, ${displaystyle mathrm {SL} (n)}$ (Verzerrungen, aber keine Reflexion und keine Veränderung der in nein-dimensionales Volumen)
• spezielle euklidische Gruppe ${displaystyle mathrm {SE} (n)}$ (die direkten Isometrien; für ${Anzeigestil n=3}$ sind dies die möglichen Positions- und Orientierungsänderungen von a starrer Körper)
• spezielle orthogonale Gruppe ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$ (die direkten Isometrien, bei denen der Ursprung an Ort und Stelle bleibt; für ${Anzeigestil n=2}$ sind das die Drehungen um den Ursprung, für ${Anzeigestil n=3}$ die Drehungen um eine Achse durch den Ursprung)

Verweise