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Groepswerking

Angenommen gleichseitiges Dreieck "funktioniert" die Drehung ab 120° um das Zentrum des Dreieck gegen den Uhrzeigersinn auf der Sammlung von Scheitelpunkte des Dreiecks, indem Sie jeden Scheitelpunkt auf einen anderen Scheitelpunkt abbilden.

In dem Gruppentheorie, Teil von dem abstrakte Algebra und der Geometrie, ist Gruppenarbeit oder Gruppenaktion (Gruppenaktion), ein Konzept, mit dem Symmetrien von mathematische Objekte kann beschrieben werden mit Gruppen. Man betrachtet a Sammlung mathematische Objekte und beschreibt die Symmetrien eines mathematischen Objekts durch seine Symmetriegruppe, das besteht aus bijektiv Transformationen die das Objekt nicht verändern. In diesem Fall heißt die Gruppe auch a Permutationsgruppe aufgerufen (wenn die Menge endlich ist und nicht a Vektorraum Formulare) oder a Transformationsgruppe (wenn die Menge a . ist Vektorraum ist und die Gruppe wenn lineare Transformationen arbeitet an der Sammlung).

Definition

EIN (links) Bedienung oder (links) Aktion einer Gruppe ${Anzeigestil G}$ auf einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ ist ein Homomorphismus ${Anzeigestil phi}$ von ${Anzeigestil G}$ in dem symmetrische Gruppe ${Anzeigestil S(X)}$ von ${Anzeigestil X}$

{displaystyle phi: G oder S(X)}

.

Weil die Linke arbeitet ${Anzeigestil phi}$ von ${Anzeigestil G}$ auf ${Anzeigestil X}$ ein Homomorphismus ist, gilt:

${displaystyle phi (gcdot h)(x)=(phi (g)circ phi (h))(x)=phi (g)(phi (h)(x))}$
${Anzeigestil phi(e)(x)=x}$ , mit ${displaystyle e}$ es Einheitselement aus der Gruppe

In einigen Fällen erweist es sich als bequemer, eine Gruppenarbeit von rechts an einer Sammlung zu haben.

EIN (Rechtswirksamkeit oder (richtige) Aktion einer Gruppe ${Anzeigestil G}$ auf einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ ist ein Antihomomorphismus ${Anzeigestil Psi}$ von ${Anzeigestil G}$ in der symmetrischen Gruppe ${Anzeigestil S(X)}$ von ${Anzeigestil X}$

{Anzeigestil psi: G oder S(X)}

.

Da die Rechtswirkung ${Anzeigestil Psi}$ von ${Anzeigestil G}$ auf ${Anzeigestil X}$ ein Antihomomorphismus ist, gilt:

${Anzeigestil psi (gcdot h)(x) = (psi (h)circ psi (g)) (x) = psi (h) (psi (g) (x))}$
${Anzeigestil psi(e)(x)=x}$ , mit ${displaystyle e}$ das Einheitselement der Gruppe.

Es wird gesagt, dass die Gruppe ${Anzeigestil G}$ (von links bzw. rechts) am Set ${Anzeigestil X}$ funktioniert.

Anstatt von ${Anzeigestil phi(g)(x)}$ man schreibt oft einfach ${displaystyle gcirc x}$ , oder auch ${displaystyle gx}$ für einen Effekt für die linke Hand und für einen Effekt für die rechte Hand anstelle von ${Anzeigestil psi (g) (x)}$ einfach ${displaystyle xcirc g}$ oder ${displaystyle xg}$ . In dieser Notation sind die angegebenen Eigenschaften:

für eine Linksoperation:

${Anzeigestil (gh)x=g(hx)}$
${displaystyle ex=x}$

für Rechtswirkung:

${Anzeigestil x(gh)=(xg)h}$
${displaystyle xe=x}$

Äquivalent kann der Betriebsbegriff wie folgt definiert werden.

EIN (links) Bedienung aus der Gruppe ${Anzeigestil G}$ in der Kollektion ${Anzeigestil X}$ ist ein Bild:

{displaystyle circ :Gimes X oder X}

mit folgenden Eigenschaften:

Assoziativität:

{displaystyle (gh)circ x=gcirc (hcirc x)}

;

mit dem Einheitselement ${displaystyle e}$ der Gruppe entspricht dem identisches Bild von ${Anzeigestil X}$

{displaystyle ecirc x=x}

.

Analog ist a (Rechtswirksamkeit aus der Gruppe ${Anzeigestil G}$ in der Kollektion ${Anzeigestil X}$ Ein Bild:

{displaystyle circ :X imes G oder X}

mit folgenden Eigenschaften:

Assoziativität:

{displaystyle xcirc (gh)=(xcirc g)circ h}

;

mit dem Einheitselement ${displaystyle e}$ der Gruppe entspricht dem identisches Bild von ${Anzeigestil X}$

{displaystyle xcirc e=x}

.

Aus der Definition folgt, dass für jedes ${displaystyle Gin G}$ die Funktion von ${Anzeigestil xin X}$ zu ${displaystyle gcdot xin X}$ bijektiv ist. Es ist jedoch möglich, dass dieselbe Bijektion mehreren Gruppenelementen entspricht. Ist dies nicht der Fall und damit das Bild von ${displaystyle g}$ im ${Anzeigestil G}$ zu ${displaystyle gcdot x}$ in der Sammlung von Bijektionen von ${Anzeigestil X}$ zu ${Anzeigestil X}$ ist injektiv, dann heißt die Gruppenaktion treu oder effektiv.

Beispiel 1

${Anzeigestil X}$ ist die Menge der Funktionen von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil W}$ , und ${Anzeigestil G}$ ist eine Gruppe bijektiver Transformationen von ${Anzeigestil V}$ . Die Gruppenoperation ist definiert durch ${Anzeigestil (gx)(v)=x(g^{-1}(v))}$ , oder gleichwertig von ${Anzeigestil (gx)(gv)=x(v)}$ . Es ist ein Homomorphismus von ${Anzeigestil G}$ in der Symmetriegruppe von ${Anzeigestil V}$ , wobei also mit jeder Bijektion von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil V}$ im ${Anzeigestil G}$ eine Bijektion von ${Anzeigestil X}$ zu ${Anzeigestil X}$ entspricht.

Beispiel 2

Paar ${Anzeigestil X=V}$ , und ${Anzeigestil G}$ ist eine Gruppe bijektiver Transformationen von ${Anzeigestil V}$ . Die Gruppenaktion ist einfach die Anwendung der Bijektion auf den Punkt.

Job

Siehe auch Beruf (Gruppentheorie)

als eine Gruppe ${Anzeigestil G}$ arbeitet an einer Sammlung ${Anzeigestil X}$ , ist der Job oder Orbit eines Elements ${Anzeigestil xin X}$ die Teilmenge ${displaystyle Gcdot x}$ aller Bilder von ${Anzeigestil x}$ unter der Gruppe:

{displaystyle Gcdot x=left{gcdot xmid gin Gight}}

Die Menge aller Jobs als ${Anzeigestil x}$ die Sammlung ${Anzeigestil X}$ bildet sich weiter a Partition von ${Anzeigestil X}$ . wenn ${Anzeigestil X=V}$ (Beispiel 2 oben), also bilden die Bahnen eine Partition der ${Anzeigestil V}$ . Ist ${Anzeigestil V}$ ein metrischer Raum und ${Anzeigestil G}$ ein Isometriegruppe, dann ist manchmal ein wichtiger Unterschied, ob die Jobs isolierte Punkte existieren, oder mit anderen Worten, diskrete metrische Räume sein.

Beispiele

${Anzeigestil G}$ ist die Menge der Isometrien von {1, 2, 3}, bestehend aus der Identität und dem Austausch von 1 und 3. ${Displaystil X={1,2,3}}$ . Die Jobs sind ${Anzeigestil {1,3}}$ und ${Anzeigestil {2}}$ .
${Anzeigestil G}$ ist wie oben. ${Anzeigestil X}$ ist die Menge der Funktionen von {1, 2, 3} bis {A, B}. Die Jobs sind kurz gesagt {AAB, BAA}, {ABB, BBA}, (AAA), (ABA), {BAB} und {BBB}.
${Anzeigestil G}$ ist der Symmetriegruppe von a Polyeder. ${Anzeigestil X}$ ist die Menge von Scheitelpunkten, Kanten oder Flächen. Die Bahnen sind Teilungen von Scheitelpunkten, Kanten oder Flächen.

Transitivität

Gruppenarbeit ist transitiv, wenn es nur einen Job gibt. Am Beispiel der Polyeder heißt jeweils Polyeder Vertex transitiv oder isogonal und seitentransitiv oder isohedral.

Anwendung

Paar ${Anzeigestil V}$ ist der euklidische Raum einer gegebenen Dimension oder eine Teilmenge davon. Zum Beschreiben Symmetrie eines Objekts auf/in ${Anzeigestil V}$ (wo ein "Objekt in ${Anzeigestil V}$ " sollte nicht mit einem Element von verwechselt werden ${Anzeigestil V}$ ) können wir das als Funktion modellieren, definiert auf ${Anzeigestil V}$ , mit für jeden Punkt als Funktionswert eine Funktion Tupel mit einer oder mehreren Eigenschaften wie Farbe, Material, Temperatur usw. Die Symmetrie eines Objekts kann beispielsweise nicht nur die Form, sondern auch andere Aspekte beinhalten. In einer Situation wie beispielsweise einem Gas in einem Raum kann man auch die Symmetrie von Druck und Temperatur als Funktion des Ortes betrachten. Vor dem ${Anzeigestil X}$ man kann dann die Menge solcher Funktionen nehmen. Vor dem ${Anzeigestil G}$ können wir die bekommen? Symmetriegruppe von ${Anzeigestil V}$ take, und die Gruppenoperation kann wie oben definiert werden. Das bedeutet, wenn ${displaystyle g}$ ist eine Übersetzung, und ein Objekt ist gegeben durch ${Anzeigestil x}$ , das entsprechend dieser Übersetzung verschobene Objekt ist gegeben durch ${displaystyle gx}$ , etc. Die Symmetriegruppe eines Objekts oder einer Situation beschrieben durch ${Anzeigestil x}$ besteht dann aus den Elementen ${displaystyle g}$ von ${Anzeigestil G}$ Wofür ${displaystyle gcdot x=x}$ . wenn ${Anzeigestil x}$ das Anzeigefunktion ist von einer Teilmenge ${Anzeigestil W}$ von ${Anzeigestil V}$ , dann ist diese Symmetriegruppe der Durchschnitt von that ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ .

wenn ${Anzeigestil V}$ Der ganze Raum ist für uns da ${Anzeigestil G}$ nehmen Sie die euklidische Gruppe ${Anzeigestil E(n)}$ oder nur die direkte Isometrien: ${Displaystil SE(n)}$ . Im letzteren Fall ist ein Orbit die Menge möglicher Positionen und Lagen^[1] eines Objekts (starrer Körper im weitesten Sinne des Wortes, ${displaystyle n}$ muss nicht 3) sein, und jede Spur entspricht einem anderen Objekt.

Wenn dem Tupel eine zu berücksichtigende Eigenschaft wie Farbe usw. hinzugefügt wird, ist die Symmetriegruppe des Objekts oder der Situation eine Untergruppe der Symmetriegruppe ohne diesen Zusatz.

Siehe auch

Quellen, Anmerkungen und/oder Verweise

↑Es handelt sich um Positionen, die von der Ausgangsposition innerhalb des relevanten Raumes zugänglich sind, also beispielsweise nicht über einen höherdimensionalen Raum umdrehen.

[1] Es handelt sich um Positionen, die von der Ausgangsposition innerhalb des relevanten Raumes zugänglich sind, also beispielsweise nicht über einen höherdimensionalen Raum umdrehen.

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