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Rotatiegroep

Dieser Artikel behandelt Rotationen im dreidimensionalen euklidischen Raum. Für Drehungen in höheren Dimensionen siehe Orthogonale Gruppe.

In dem Mechanik und der Geometrie ist der Rotationsgruppe das Gruppe von allen Drehungen um die Ursprung aus dreidimensional euklidischer RaumR³ unter dem Betrieb von Komposition. Definitionsgemäß ist eine Drehung um den Ursprung a lineare Transformation dass die Länge von Vektoren spart (es ist ein Isometrie) und diese Drehung spart die Orientierung (was bedeutet Händigkeit) aus dem Zimmer. Eine längenerhaltende Transformation, die die Orientierung umkehrt, wird zu a falsche Drehung erwähnt. Jede uneigentliche Drehung des dreidimensionalen euklidischen Raums ist a Reflexion in einem eben nach der Herkunft.

Das Zusammensetzen von zwei Drehungen führt zu einer weiteren Drehung; jede Drehung hat eine eindeutige inverse Drehung und die Identitätsfunktion entspricht der Definition einer Rotation. Aufgrund dieser oben genannten Eigenschaften ist die Sammlung eine von allen Drehungen Gruppe unter Komposition. Darüber hinaus hat die Rotationsgruppe eine natürliche Sortenstruktur für die die Gruppe bearbeitet rutschig ist; es ist tatsächlich ein Lügengruppe. Die Rotationsgruppe wird oft mit bezeichnet SO(3).

Länge und Winkel

Rotationen erhalten nicht nur die Länge, sondern auch die Ecken zwischen den Vektoren. Dies folgt daraus, dass die Norm the internes Produkt zwischen zwei Vektoren Sie und v rein in Bezug auf die Länge kann geschrieben werden:

{displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} ={ frac {1}{2}}left(|mathbf {u} mathbf {v} |^{2}-|mathbf {u} |^{2}-| mathbf {v} |^{2}ight).}

Daraus folgt, dass jede längenerhaltende Transformation in R³ behält das Skalarprodukt und damit den Winkel zwischen den Vektoren bei. Rotationen werden oft als lineare Transformationen definiert, die das Skalarprodukt auf R³ behalten. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie die Länge speichern müssen.

Orthogonale Matrizen und Rotation

sehen Orthogonale Matrix und Rotationsmatrix für die wichtigsten Artikel zu diesem Thema.

Jede Drehung zeigt a Orthonormalbasis von R³ auf einer anderen orthonormalen Basis. Wie jede lineare Transformation von endlich-dimensional Vektorräume, eine Drehung kann immer durch a . dargestellt werden Matrix. spät R eine vorgegebene Drehung sein. In Bezug auf die Standardbasis ${displaystyle (e_{1},e_{2},e_{3})}$ von R³ werden die Spalten von R gegeben von ${displaystyle (Re_{1},Re_{2},Re_{3})}$ . Da die Standardbasis orthonormal ist, sind die Spalten von R eine andere Orthonormalbasis. Diese Orthonormalitätsbedingung kann in der Form ausgedrückt werden

{Anzeigestil R^{T}R=I,}

wahr R^t das transponierte Matrix von R bezeichnet und wo ich de 3 × 3 de Identitätsmatrix ist. Matrizen, für die diese Eigenschaft gilt, sind orthogonale Matrizen erwähnt. Die Gruppe aller 3 × 3 orthogonalen Matrizen wird mit O(3) bezeichnet und besteht aus allen echten und uneigentlichen Drehungen.

Neben der Beibehaltung der Länge müssen tatsächliche Drehungen auch die Orientierung beibehalten. Eine Matrix behält die Orientierung bei oder kehrt sie um, je nachdem, bestimmend der Matrix ist positiv oder negativ. Mark für eine orthogonale Matrix R, auf diesem det R^t = det R impliziert, dass (detR)² = 1, so dass det R = ± 1. Die Untergruppe orthogonaler Matrizen mit Determinante 1 wird zu besonderes orthogonale Gruppe, bezeichnet als SO(3).

Jede Drehung lässt sich daher eindeutig darstellen durch a orthogonale Matrix mit der Einheitsdeterminante. Da die Zusammensetzung der Rotationen weiterhin Matrix-Multiplikation, ist die Rotationsgruppe is isomorph mit dem spezielle orthogonale Gruppe SO (3).

Unechte Drehungen entsprechen orthogonalen Matrizen mit Determinante −1 und bilden keine Gruppe, da das Produkt zweier unechter Drehungen eine echte Drehung ist.

Gruppenstruktur

Die Rotationsgruppe ist a Gruppe unten Funktionszusammenstellung (oder gleichwertig die Produkt linearer Transformationen). Es ist ein Untergruppe des allgemeine lineare Gruppe, bestehend aus allen invertierbar lineare Transformationen der euklidischer Raum.

Außerdem ist die Rotationsgruppe nicht-Abelian. Das heißt, die Reihenfolge, in der die Drehungen zusammengesetzt sind, macht einen Unterschied. Eine Vierteldrehung zum Positiven XAchse, gefolgt von einer Vierteldrehung um das Plus jaAchse ist zum Beispiel eine andere Drehung als die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst umgeht ja und dann zu X rotieren.

Die orthogonale Gruppe, bestehend aus allen echten und unechten Drehungen, wird durch Spiegelungen erzeugt. Jede tatsächliche Drehung ist die Zusammensetzung zweier Reflexionen, ein Spezialfall der Satz von Cartan-Dieudonné. Jede unsachgemäße Drehung ist eine Reflexion.

Rotationsachse

Alle nicht-trivial korrekte Drehung in 3 Maße legt eine einzigartige eindimensionale lineare Unterraum von R³ behoben, dass die Rotationsachse heißt (das ist Rotationssatz von Eulerler). Jede dieser Drehungen funktioniert wie eine gewöhnliche zweidimensionale Drehung im eben aufrecht auf dieser Achse. Da jede zweidimensionale Drehung durch einen Winkel φ dargestellt werden kann, kann jede dreidimensionale Drehung durch eine Drehachse zusammen mit einem Drehwinkel um diese Achse angegeben werden. (Technisch muss man eine Orientierung für die Achse angeben, und ob die Rotation im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn wird in Bezug auf diese Ausrichtung durchgeführt).

Eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn zum Positiven z-Drehachse um einen Winkel φ ist gegeben durch

{displaystyle R_{z}(phi )={ egin{bmatrix}cos phi &-sin phi &0/sin phi &cos phi &0/0&0&1end{bmatrix}}.}

Sei, gegeben a Einheitsvektornein im R³ und ein Winkel φ, R(φ, nein) repräsentieren eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um die Achse durch nein (mit Orientierung bestimmt durch nein). Dann gilt

R(0, nein) ist Identitätstransformation für alle nein
R(φ, nein) = R(−φ,nein)
R(π φ, nein) = R(π − φ,nein).

Mit diesen Eigenschaften kann man zeigen, dass jede Drehung durch einen eindeutigen Winkel φ im Bereich von 0 ≤ φ ≤ π und einen Einheitsvektor . dargestellt werden kann nein, so dass

nein ist beliebig, wenn φ = 0
nein ist eindeutig, wenn 0 < φ < π
nein ist bis auf das Vorzeichen eindeutig, wenn φ = π (d. h. die Drehung R(π, ±nein) ist identisch).

Siehe auch

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