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Cirkelgroep

In dem Mathematik ist der Kreisgruppe, bezeichnet durch ${displaystyle mathbb {T} }$ oder ${displaystyle mathbf {T} }$ , das Multiplikativ Gruppe des komplexe Zahlen mit Absolutwert gleicht 1. Die Elemente von ${displaystyle mathbb {T} }$ sind die punkte auf der Einheitskreis in dem komplexe Ebene und die Operation ist die Multiplikation.

Eine isomorphe Darstellung liegt vor, wenn die additive Gruppe ${displaystyle mathbb {R} /mathbb {Z} .}$

Definition

Das Kreisgruppe ist definiert als das Paar ${displaystyle (mathbb {T} ,,cdot )}$ mit:

{displaystyle mathbb {T} ={phrase mathbb {C} :|z|=1}}

und die Multiplikation als Operation.

Die Kreisgruppe bildet a Untergruppe von ${displaystyle mathbb {C} ^{imes }}$ , die multiplikative Gruppe aller komplexen Zahlen außer 0. Da ${displaystyle mathbb {C} ^{imes }}$ ein abelsche Gruppe ist, ist auch ${displaystyle mathbb {T} }$ abel.

Die Notation ${displaystyle mathbb {T} }$ bevor die Kreisgruppe aus dem Wort kommt torus schon seit ${displaystyle mathbb {T} ^{n}}$ (es Direktprodukt von ${displaystyle n}$ Faktoren ${displaystyle mathbb {T} }$ ) kann geometrisch gesehen werden als a ${displaystyle n}$ -torus. Die Kreisgruppe ist dann ein 1-Torus.

Die Kreisgruppe spielt eine zentrale Rolle in der Pontryagin Dualität und in der Theorie von Lügengruppen.

Grundlegende Einführung

Ergänzung zur Kreisgruppe

Die Kreisgruppe ist im Wesentlichen ein Beispiel für die modulare Mathematik, also berechne Modul eine Zahl. In der Kreisgruppe geht es um die summieren von Ecken kann, wenn nur Winkel zwischen 0° und 360° erlaubt sind, also modulo 360°. Das Diagramm rechts zeigt, wie man 150° zu 270° addiert. Die Antwort sollte sein, dass 150° 270° = 420°, aber wenn wir in der Kreisgruppe denken, vergessen wir, dass wir den Kreis bereits einmal gedreht haben und korrigieren dies so, dass die Antwort immer im Intervall von 0° liegt zu 360° liegt. Die Antwort lautet 420° - 360° = 60°.

Topologische und analytische Struktur

Die Kreisgruppe ist mehr als nur eine Zusammenfassung algebraische Gruppe. Die Kreisgruppe hat eine natürliche Topologie wenn sie als Unterraum von dem komplexe Ebene. Da Multiplikation und Invertierung kontinuierliche Funktionen sind auf ${displaystyle mathbb {C} ^{imes }}$ , die Kreisgruppe hat die Struktur von a topologische Gruppe. Seit der Einheitskreis zusätzlich a geschlossene Teilmenge von dem komplexe Ebene is ist die Kreisgruppe ist a geschlossene Untergruppe von ${displaystyle mathbb {C} ^{imes }}$ (die selbst auch als topologische Gruppe betrachtet wird).

Man kann noch weiter gehen. Der Kreis ist a eindimensional Real Vielfalt und Multiplikation und Inversion sind analytische Funktionen auf dem Kreis. Dadurch erhält die Kreisgruppe die Struktur einer eindimensionalen Lügengruppe. Tatsächlich auf Isomorphismus na, es ist das einzigartige eindimensional kompakt, verbunden Lügengruppe. Außerdem ist jeder ${displaystyle n}$ -dimensional kompakt, zusammenhängend, abels Lügengruppe isomorph mit ${displaystyle mathbb {T} ^{n}}$ .

Algebraische Struktur

In diesem Abschnitt wollen wir die topologische Struktur der Kreisgruppe vergessen und nur die algebraische Struktur betrachten.

Die Kreisgruppe ${displaystyle mathbb {T} }$ ist ein teilbare Gruppe. Das Torsionsuntergruppe ist gegeben durch die Menge aller ${displaystyle n}$ -das Wurzel der Einheit für alle ${displaystyle n}$ , und ist isomorph mit ${displaystyle mathbb {Q} /mathbb {Z} }$ . Der Struktursatz für teilbare Gruppen sagt uns, dass ${displaystyle mathbb {T} }$ isomorph zu den direkte Summe von ${displaystyle mathbb {Q} /mathbb {Z} }$ mit einigen Kopien von ${displaystyle mathbb {Q} }$ . Die Anzahl der Kopien von ${displaystyle mathbb {Q} }$ Muss ${Anzeigestil c}$ (das Kardinalität des Kontinuums), ansonsten der Kardinalität der direkten Summe ist nicht korrekt. Aber die direkte Summe von ${Anzeigestil c}$ Kopien von ${displaystyle mathbb {Q} }$ ist isomorph zu ${displaystyle mathbb {R} }$ , schon seit ${displaystyle mathbb {R} }$ ein Vektorraum der Dimension ${Anzeigestil c}$ Über ${displaystyle mathbb {Q} }$ ist. So

{displaystyle mathbb {T} cong mathbb {R} oplus (mathbb {Q} /mathbb {Z} )}

Der Isomorphismus

{displaystyle mathbb {C} ^{imes }cong mathbb {R} oplus (mathbb {Q} /mathbb {Z} )}

kann auf die gleiche Weise bewiesen werden, da ${displaystyle mathbb {C} ^{imes }}$ auch ein teilbar abelsche Gruppe , deren Torsionsuntergruppe gleich der Torsionsuntergruppe von . ist ${displaystyle mathbb {T} }$ ist.

Siehe auch

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