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Ursprung einer Zykloide

Einige Zykloiden

■Hypozykloide

■Hypozykloide

■Nierencharakteristik

EIN Zykloide, Altgriechisch: κυκλος, Kreis und -ειδες, -isch,^[1] ist ein Mathematiker Figur, die durch den zurückgelegten Weg durch einen Punkt auf a . gebildet wird Kreis, wenn dieser Kreis über eine Gerade rollt.

Die Bahn, die einem Punkt eines Kreises folgt, wenn der Kreis nicht entlang einer Linie, sondern entlang einer anderen Figur rollt, wird auch als Zykloide bezeichnet.

Betrachtet als ein Rad, das sich auf einer ebenen Straße bewegt, dreht es sich in dem Moment, in dem der Punkt ${Anzeigestil P}$ auf der Fahrbahn auftrifft, die Geschwindigkeit von ${Anzeigestil P}$ Richtung und der Punkt ist momentan stationär. Alle anderen Punkte auf dem Rad drehen sich zu diesem Zeitpunkt weiter. Der stationäre Punkt wird der Sofort-Pool, oder "momentanes Rotationszentrum" genannt.

Mathematische Beschreibung

Die Zykloide in der Abbildung wird mit der Parameter${displaystyle t}$ beschrieben durch die Gleichungen:

${Anzeigestil x=r(t-sin(t))}$

${Anzeigestil y=r(1-cos(t))}$

einschließlich ${displaystyle r}$ das Strahl des Kreises.

Einige Eigenschaften:

• An den Punkten, an denen die Zykloide die x-Achse berührt, ist die Tangente vertikal.
• Das Oberfläche unter einem Bogen einer Zykloide ist das Dreifache des Formkreises (Gilles Personne de Roberval, 1634).
• Das Länge eines Bogens ist viermal so groß Durchmesser des Formkreises, also die vierfache Höhe der Zykloide (Christopher Wren, 1658).
• Die Zykloide repräsentiert die Linie von a Brachistochrone Kurved. h. ein Objekt, das sich reibungsfrei von einer stationären Position von einem höheren zu einem niedrigeren Punkt bewegt, erreicht das Ziel am schnellsten, wenn es sich entlang einer Zykloide bewegt.
• Ein Massenpunkt, der sich aus dem Stillstand entlang einer Zykloide bewegt, ist für alle Punkte auf der Zykloide gleichzeitig unten. Dieses tautochrone Kurve ist auch die Form der 'idealen Pendelbewegung', bei der die Pendelzeit ist unabhängig von der Auslenkung des Pendel.
• Das entwickeln einer Zykloide ist wieder eine genau gleich große Zykloide. Sie ist horizontal um eine halbe Periode von der ursprünglichen Zykloide versetzt. In vertikaler Richtung liegt die Evolute ${displaystyle 2r}$ niedriger. Jeder Bogen der Evolute geht an seinem höchsten Punkt durch die Wendepunkte der ursprünglichen Zykloide. Auf diese Weise unterstützt die Evolute sozusagen die Zykloide, aus der sie hervorgegangen ist.

Geschichte

Die Zykloide wurde zuerst untersucht von Nikolaus von Kues und später von Mersenne. Galileo Galileo prägte den Namen Zykloide in 1599. Der Roberval gezeigt in 1634 zeigt, dass die Fläche unter einer Zykloide genau das Dreifache der Fläche ihres erzeugenden Kreises beträgt, während Christopher Wren im 1858 zeigten, dass die Länge einer Zykloide genau das Vierfache des Durchmessers ihres erzeugenden Kreises beträgt. Die Zykloide wurde später auch von den Mathematikern verwendet Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, Christian Huygens, Johann Bernoullic, Isaac Newton, Leibniz, Jakob Bernoullic und L'Hopital studiert. Die Zykloide wurde auch die Helena der Geometer genannt, nach Helena von Troja, als sie verschiedene Streitigkeiten zwischen dem 17. Mathematiker verursacht.

Verwandte Kurven

Deltamuskel

Hypozykloide mit Umfangsverhältnis 2:1

Trochoide

Hypozykloide

Eine Hypozykloide ist die Zykloide, die als kleinerer Kreis auf der Innenseite geschrieben wird, der einem größeren Kreis folgt. Das Deltamuskel Ist einer von ihnen. Wählt man einen Punkt, der nicht auf, sondern innerhalb des kleineren Kreises liegt, ist das Ergebnis a Trochoide erwähnt. EIN Spirograph schreibt Trochoiden.

Ist das Verhältnis zwischen den Umfängen a Rationale Zahl ist, ergibt a Rosette, wie beim Deltamuskel. Wenn das Verhältnis zwischen den Perimetern eine nicht-rationale Zahl ist, dann ist a Zwischenform zwischen Rotationssymmetrie endlicher Ordnung und Rotationssymmetrie über beliebige Winkel: In einer Animation ist die Figur nie fertig, es werden immer Schleifen hinzugefügt.

Geschichte

Die Hypozykloide, griechisch: ὑπό, hey presto, unten, wurde 1599 von gebaut Galilei entdeckt und dann 1525 von Albrecht Dürer, 1674 von Römer und 1725 von Daniel Bernoullic studiert.

Eigenschaften

Legende:

${Anzeigestil R}$ : Umfang des äußeren Kreises

${displaystyle r}$ : Umfang des inneren Kreises

wenn ${Anzeigestil R/r}$ wenn Quotient von ganzen Zahlen^[2] ausgedrückt wird ${Anzeigestil R}$ die Anzahl der Lappen der Rosette und ${displaystyle r}$ die Anzahl der Umdrehungen, in denen die Figur vollendet ist.

Die Kurve ist definiert durch a parametrische Gleichung, bei welchem:

${displaystyle x( heta )=(R-r)cos heta rcos links({frac {R-r}{r}} heta ight)}$

${displaystyle y(heta)=(R-r)sin heta -rsin left({frac {R-r}{r}} heta ight)}$

mit ${Anzeigestil R}$ der Radius des Grundkreises und ${displaystyle r}$ der Radius des rotierenden Kreises. Dies lässt sich leicht im Verhältnis ausdrücken ${displaystyle q={R über r}}$ der beiden Strahlen:

${ Anzeigestil x(heta)=r,((q-1)cos heta cos(q-1) heta)}$

${displaystyle y(heta)=r,((q-1)sin heta -sin(q-1)heta)}$

Anwendungen

• Das Foucaultsches Pendel folgt dieser Kurve.
• Bei Kreisen mit einem Umfangsverhältnis von 2:1 bildet die Hypozykloide eine Gerade. Dadurch kann eine Drehbewegung in eine Linearbewegung umgewandelt werden.
• Die Trochoide kann mit a gezeichnet werden Spirograph. Es wird für geometrische Musterdesigns und als Spielzeug verwendet.

Epizykloide

Eine Epizykloide.

Nierencharakteristik

Dies ist die Kurve, die einen Punkt auf einem Kreis nachzeichnet, der über einen größeren Kreis rollt. Es ist ein Beispiel für a Epizykel.

Zwei Beispiele:

• Nierencharakteristik mit ${Anzeigestil R=r}$^[3]
• nephroid mit ${Anzeigestil R=2r}$ geformt wie a Niere.

Darin ist ${Anzeigestil R}$ der Radius des Großkreises, ${displaystyle r}$ des kleinen Kreises.

Geschichte

Da war schon im Antike zu Epizykloiden, Altgriechisch: επί, epizählen auf: Aristoteles und Ptolemäus benutzte diese Kurve und die Epizykel, um die Bewegung der Planeten in ihrer geozentrisch das System zu erklären.

Die Kurve wurde von Rømer (1674) weiter untersucht, Girard Desargues, Charles Stephen, Daniel Bernoulli (1725), Dürer, Huygens, Leibniz, L'Hopital, Euler, halley, Isaac Newton. Letzteres befasste sich mit der Länge der Epizykloiden in seinem Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

Vergleich

Epizyklen können durch eine parametrische Gleichung definiert werden:

${displaystyle x(heta)=(R r)cos heta -rcos left({frac {R r}{r}} heta ight)}$

${displaystyle y( heta )=(R r)sin heta -rsin left({frac {R r}{r}} heta ight)}$

mit ${Anzeigestil R}$ der Radius des Grundkreises und ${displaystyle r}$ der Radius des rotierenden Kreises. Dies kann in der Proportion sein ${displaystyle q={R über r}}$ der beiden Strahlen:

${ Anzeigestil x(heta)=r,((q 1)cos heta -cos(q 1)heta)}$

${ Anzeigestil y(heta)=r,((q 1)sin heta -sin(q 1)heta)}$

ausgedrückt werden. Diese Definition ist also der einer Hypozykloide sehr ähnlich.

Fußnoten

Externe Links

• Hypozykloide
• Epizykloide

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