WikiDer > Ядро Фредгольма

Fredholm kernel

В математика, а Ядро Фредгольма это определенный тип ядро на Банахово пространство, связана с ядерные операторы на банаховом пространстве. Они представляют собой абстракцию идеи Интегральное уравнение Фредгольма и Фредгольмов оператор, и являются одним из объектов исследования в Теория Фредгольма. Ядра Фредгольма названы в честь Эрик Ивар Фредхольм. Большая часть абстрактной теории ядер Фредгольма была разработана Александр Гротендик и опубликовано в 1955 году.

Определение

Позволять B быть произвольным Банахово пространство, и разреши B* быть его двойственным, т. е. пространством ограниченные линейные функционалы на B. В тензорное произведение имеет завершение под нормой

где инфимум берется по всем конечным представлениям

Завершение по этой норме часто обозначается как

и называется проективное топологическое тензорное произведение. Элементы этого пространства называются Ядра Фредгольма.

Характеристики

Каждое ядро ​​Фредгольма имеет представление в виде

с и такой, что и

С каждым таким ядром связан линейный оператор

который имеет каноническое представление

С каждым ядром Фредгольма связан след, определяемый как

п-самоходные ядра

Ядро Фредгольма называется п-плавный если

Говорят, что ядро ​​Фредгольма имеет заказ q если q это инфимум из всех

для всех п для чего это п-суммируемый.

Ядерные операторы в банаховых пространствах

Оператор L : BB считается ядерный оператор если существует Икс такой, что L = LИкс. Такой оператор называется п-суммируемые и по порядку q если Икс является. В общем, может быть более одного Икс связан с таким ядерным оператором, поэтому след не определен однозначно. Однако если заказ q ≤ 2/3, то существует единственный след, как это дает теорема Гротендика.

Теорема Гротендика

Если оператор порядка тогда след может быть определен с помощью

куда являются собственные значения из . Кроме того, Определитель Фредгольма

является вся функция из z. Формула

также держится. Наконец, если параметризуется некоторыми сложный-значный параметр ш, то есть, , а параметризация голоморфный в каком-то домене, то

голоморфна в той же области.

Примеры

Важным примером является банахово пространство голоморфных функций над областью . В этом пространстве каждый ядерный оператор имеет нулевой порядок и, следовательно, имеет класс трассировки.

Ядерные пространства

Идея ядерного оператора может быть адаптирована к Пространства фреше. А ядерное пространство является пространством Фреше, в котором всякое ограниченное отображение пространства в произвольное банахово пространство ядерно.

Рекомендации

  • Гротендик А (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Амер. Математика. Soc. 16.
  • Гротендик А (1956). "Теория Фредхольма". Бык. Soc. Математика. Франция. 84: 319–84.
  • Б.В. Хведелидзе, Г.Л. Литвинов (2001) [1994], «Ядро Фредгольма», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Fréchet M (ноябрь 1932 г.). «О поведении n-го итерации ядра Фредгольма, когда n становится бесконечным». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 18 (11): 671–3. Дои:10.1073 / pnas.18.11.671. ЧВК 1076308. PMID 16577494.