WikiDer > Ideale Zahl

In dem Mathematik ist ein ideale Zahl ein algebraische ganze Zahl (nett komplexe Zahl), das a Ideal in dem Ring der ganzen Zahlen von a Zahlenfeld repräsentiert. Die Idee wurde entwickelt von Ernst Kummer, und führte später zu Richard Dedekinds Definition eines Ideals für abstrakt Ringe. Ein Ideal liegt im Ring der ganze Zahlen eines algebraischen Zahlenkörpers a Hauptideal wenn es besteht aus Vielfaches von einer einzigen Element des Rings und ansonsten ein nicht-hauptsächliches Ideal. Durch die Prinzipalisierungssatz jedes nicht-Hauptideal wird zu einem Hauptideal, wenn es auf ein Ideal von . erweitert wird Hilberts Klassenfeld. Dies bedeutet, dass es ein Element des Rings der ganzen Zahlen des Klassenkörpers gibt, das eine ideale Zahl ist, so dass alle Vielfachen dieses Elements in der Ring aus ganzen Zahlen die im Ring der ganzen Zahlen des ursprünglichen Feldes/Feldes liegen, definieren das nicht-hauptsächliche Ideal.

Geschichte

Im 1844 veröffentlichte Kummer in einer Gratulationsausgabe zu Ehren der Universität von Königsbergen ein Artikel, in dem er seine Schlussfolgerung beschrieb, dass einzigartige Faktorisierung ist nicht möglich für zyklotomische Felder (Art von komplexen Zahlen). Die Nummer 23 stellt sich als die erste Zahl heraus, die nicht faktorisiert werden kann. Der Artikel wurde veröffentlicht in 1847 abgedruckt auf Französisch in der Zeitschrift von Liouville, dies als Reaktion auf den 'falschen' Beweis der Der letzte Satz von Fermat. Im 1846 und 1847 Kummer veröffentlichte dann seinen wichtigen Satz über die eindeutige Faktorisierung in (real und ideal) Primzahlen.

Es wird allgemein angenommen, dass Kummer durch sein Interesse an Fermats letztem Satz auf seine "idealen komplexen Zahlen" gelenkt wurde; Es gibt sogar eine viel erzählte Geschichte, die Kummer, genau wie Lame im 1845, glaubte irgendwann, dass er Fermats letzte Aussage bewiesen hatte, dies bis dirichlet wies ihn darauf hin, dass seine Argumente zur irrigen Annahme von einzigartige Faktorisierung beruhten. Da diese Geschichte zuerst in ist 1910 durch Kurt Hensel erzählt wurde und es außerdem stark scheint, dass eine von Hensels Quellen falsch lag, scheint diese Geschichte auf einem Missverständnis zu beruhen.

Harold Edwards sagt, dass die Annahme, Kummer sei besonders an Fermats letztem Theorem interessiert, "sicher ein Fehler" ist (aaO, S. 79). Kummers Verwendung des Buchstabens λ zur Bezeichnung einer Primzahl, α zur Bezeichnung des λde Wurzel der Einheit und sein Studium der Faktorisierung von Primzahlen ${displaystyle pequiv 1{pmod {lambda}}}$ in "komplexe Zahlen bestehend aus ${ Anzeigestil Lambda }$Wurzeln der Einheit" lässt sich alles auf einen Artikel von . zurückführen Jakobisch das über die Gesetze der höheren Gegenseitigkeit geht. Kummers Veröffentlichung raus 1844 war zu Ehren des Lustrumfestes der Universität Königsberg und als Hommage an Jacobi gedacht.

Obwohl Kummer Fermats Letzten Satz bereits in den 1830er Jahren studiert hatte und ihm wahrscheinlich bewusst war, dass seine Theorie auch Auswirkungen auf Fermats Letzten Satz hatte, ist es wahrscheinlicher, dass Jacobis Forschungsgebiet (und Gauss), die höheren Reziprozitätsgesetze, waren für Kummer eine wichtigere Motivation. Jedenfalls verweist Kummer auf seinen eigenen Teilbeweis von Fermats letztem Satz (für alle regelmäßige Primzahlen) als "eher ein Kuriosum in der Zahlentheorie als ein wichtigerer Fund". Andererseits spricht er von den höheren Gesetzen der Reziprozität (von ihm in Theoremform gegossen) als "Hauptgegenstand und höchster Gipfel der zeitgenössischen Zahlentheorie". Kummer machte diese Aussage jedoch zu einer Zeit, als er sich noch über den Erfolg seiner Arbeiten zu den Gesetzen der hohen Reziprozität freute und seine Arbeit an Fermats letztem Satz verlangsamt hatte, weshalb Kummers Kommentar in diesen Zusammenhang einzuordnen ist.

Eine Verallgemeinerung von Kummers Ideen wurde in den nächsten vierzig Jahren unabhängig von Leopold Kronecker und Richard Dedekind. Nachdem sich eine direkte Verallgemeinerung als zu schwierig erwies, suchte man nach befahrbaren Nebenstraßen. Dies führte schließlich dazu, dass Dedekind seine Theorie der Module und Ideale. Kronecker löste die Schwierigkeiten durch die Entwicklung einer Theorie der Formen (eine Verallgemeinerung der quadratische Formen) und eine Theorie von algebraische geometrische Teiler. Dedekinds Beitrag würde die Grundlage für die Ringtheorie und der abstrakte Algebra, während Kronecker-Theorien zu wichtigen Werkzeugen in der algebraische Geometrie.

Beispiel

spät ${displaystyle y}$ sei die Wurzel von ${Anzeigestil y^{2} y 6=0}$, dann der Ring der ganzen Zahlen des Körpers/Körpers ${displaystyle mathbb {Q} (y)}$ gleicht ${displaystyle mathbb {Z} [y]}$, was bedeutet, dass alle ${displaystyle a yb}$ mit ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ganze Zahlen, die den Ring der ganzen Zahlen bilden. Ein Beispiel für ein nicht-hauptsächliches Ideal in diesem Ring ist ${displaystyle 2a yb}$ mit ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ganze Zahlen. Der Würfel dieses Ideals ist a Hauptideal, und der ideale Klassengruppe ist in der Tat zyklisch der Ordnung drei. Das entsprechende Klassenfeld erhält man durch ein Element ${Anzeigestil w}$ das befriedigt ${Anzeigestil w^{3}-w-1=0}$, ergänzen ${displaystyle mathbb {Q} (y)}$. Das gibt ${displaystyle mathbb {Q} (y,w)}$.

Eine ideale Zahl für das Nicht-Hauptideal ${displaystyle 2a yb}$ ist

${displaystyle kappa ={frac {1}{23}}(-8-16y-18w 12w^{2} 10yw yw^{2})}$

Da dies die Gleichung erfüllt

${displaystyle kappa ^{6}-2kappa ^{5} 13kappa ^{4}-15kappa ^{3} 16kappa ^{2} 28kappa 8=0}$ ist es ein algebraische ganze Zahl.

Alle Elemente des Rings von ganzen Zahlen des Klassenfeldes, die bei Multiplikation mit ${displaystyle kappa}$ ein Ergebnis geben in ${displaystyle mathbb {Z} [y]}$ von der Form sein ${Anzeigestil a,alpha b,eta}$, in welchem

${displaystyle alpha ={frac {1}{23}}(-7 9y-33w-24w^{2} 3yw-2yw^{2})}$

und

${displaystyle eta ={frac {1}{23}}(-27-8y-9w 6w^{2}-18yw-11yw^{2})}$

Die Koeffizienten ${displaystyle alpha }$ und ${displaystyle eta }$ sind auch algebraische ganze Zahlen, die jeweils erfüllen

${displaystyle alpha ^{6} 7alpha ^{5} 8alpha ^{4}-15alpha ^{3} 26alpha ^{2}-8alpha 8=0}$

und

${displaystyle eta ^{6} 4 eta ^{5} 35 eta ^{4} 112 eta ^{3} 162 eta ^{2} 108 eta 27=0}$

Wenn man ${Anzeigestil a,alpha b,eta}$ mit der idealen Zahl ${displaystyle kappa}$ multipliziert man bekommt ${displaystyle 2a yb}$, das ist das nicht-Hauptideal.

Verweise

• Nicolas Bourbakic, Elemente der Geschichte der Mathematik. Springer-Verlag, NY, 1999.
• Harold M. Edwards, Fermats letzter Satz. Eine genetische Einführung in die Zahlentheorie. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• C.G. Jakobisch, Über die Komplexe Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, monatsüber. Dort. Akad. löschen. Berlin (1839) 89-91.
• E. E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis und numeris integris realibus konstant, Gratulationsschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; nachgedruckt in jour. Die Mathematik. 12 (1847) 185-212.
• E. E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten Komplexe Zahlen in ihre Primfaktoren,jour. für Mathe. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• J. Stillwell, Einführung zu Theorie der algebraischen Ganzzahlen von Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Großbritannien, 1996.

Externe Links

• Ideale Zahlen, Beweis, dass die Theorie der idealen Zahlen eine eindeutige Faktorisierung für zyklotomische ganze Zahlen spart Fermats letzter Satz Blog.