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In dem Mathematik ist der Ringtheorie das Studium der Ringe, algebraische Strukturen, Wert Betriebsummieren und multiplizieren sind definiert und haben ähnliche Eigenschaften wie die ganze Zahlen. Die Ringtheorie untersucht die Struktur von Ringen, ihre Vertretungen, oder mit anderen Worten Module, spezielle Ringklassen (Gruppenringe, Teilungsringe, universelle Hüllkurven-Algebren, sowie eine Reihe von Eigenschaften, die sich sowohl in der Ringtheorie selbst als auch für ihre Anwendungen als wichtig erwiesen haben, wie zum Beispiel homologische Eigenschaften und polynomische Identitäten.

Kommutative Ringe sind viel besser verstanden als nichtkommutative Ringe. Aufgrund der engen Verbindungen zu den algebraische Geometrie und der algebraische Zahlentheorie, die beide viele natürliche Beispiele für kommutative Ringe liefern, ist die Theorie der kommutativen Ringe, die früher als Teil der kommutative Algebra und der Feldtheorie wird dann als Teil der allgemeinen Ringtheorie betrachtet, die sich im Geschmack von der Theorie ihrer nichtkommutativen Gegenstücke unterscheidet. Ein relativ neuer Trend, der in den 1980er Jahren mit der Entwicklung des nicht-kommutative Geometrie und mit der Entdeckung der Quantengruppen begann, versucht die Situation umzukehren, indem er die Theorie bestimmter Kategorien nichtkommutativer Ringe auf geometrische Weise so aufbaut, als wären sie Ringe von Funktionen oder (nicht existent) 'nichtkommutative Räume'.

Definition

Formal ist ein Ring ${displaystyle(R, ,,*,)}$ ein Trio davon ${Anzeigestil (R, )}$ ein abelsche Gruppe ist mit a . versehen binäre Operation${Anzeigestil *}$ was ist distributiv von der Addition ${Anzeigestil}$.

Wenn da ein ... ist Einheitselement existiert im Ring, der Ring heißt a einheitlicher Ring oder Einheitsring.

Der Ring, in dem das Einheitselement gleich dem Nullelement ist (additive Identität), hat nur ein Element und wird zum trivialer Ring oder Nullring erwähnt.

Ringe, die Teil anderer Ringe werden Teilungsringe erwähnt. Bilder zwischen Ringen im Zusammenhang mit dem Ring Betrieb einbiegen in Ringhomomorphismen erwähnt. Ringe bilden zusammen mit ihren Ringhomomorphismen ein vormen Kategorie (die sogenannte Kategorie der Ringe). Eng verwandt mit Ringen ist das Konzept von Ideale, besonders Teilmengen von Ringen, die entstehen als Ader von Homomorphismen und das kann dazu dienen Factoring-Ringe definieren. Grundlegende Fakten über Ideale, Homomorphismen und Faktorringe sind in der Isomorphismussätze und in der Chinesischer Restsatz.

EIN Ring wird kommutativ benannt als die OperationMultiplikation für den jeweiligen Ring kommutativ ist. Kommutative Ringe ähneln den bekannten Zahlensysteme. Mehrere Definitionen für kommutative Ringe wurden vorgeschlagen mit dem Ziel, die aus den ganze Zahlen sich erholen. Kommutative Ringe sind auch in der important wichtig algebraische Geometrie. In der kommutativen Ringtheorie werden Zahlen oft ersetzt durch Ideale, und die Definition von Primideale probiert die Essenz von Primzahlen fangen. Integritätsdomänen, nicht trivial Kommutative Ringe, wobei no zwei ungleich null Elemente multiplizieren, um Null zu erhalten, eine andere Eigenschaft der ganzen Zahlen zu verallgemeinern und als der richtige Bereich zu dienen, um das Konzept der "Teilbarkeit" zu studieren. Hauptideale Domänen sind Integritätsdomänen, in denen jedes Ideal durch ein einzelnes Element erzeugt werden kann, eine weitere Eigenschaft, die mit den ganzen Zahlen geteilt wird. Euklidische Domänen sind Integritätsdomänen, in denen die Euklids Algorithmus durchgeführt werden kann. Wichtige Beispiele für kommutative Ringe lassen sich als Ringe von Polynome und ihre Factoring-Ringe.

Nichtkommutative Ringe ähneln in vielerlei Hinsicht den Ringen von Matrizen. Zum Modell von algebraische Geometrie In letzter Zeit wurden Anstrengungen unternommen, um nicht-kommutative Geometrie basierend auf nichtkommutativen Ringen. Nichtkommutative Ringe und assoziative Algebra's (klingelt das auch Vektorräume) sind) werden oft durch ihre Kategorien von Modulen. EIN Modul über einen Ring ist a abelsche Gruppe auf dem der Ring als Ring von acts wirkt Endomorphismen, eng verbunden mit der Art und Weise, in der Felder (Integritätsdomänen, in denen jedes Nicht-Null-Element invertierbar ist) wirken auf Vektorräume. Beispiele für nichtkommutative Ringe sind Ringe von quadratische Matrizen oder häufiger durch Ringe von Endomorphismen von abelschen Gruppen oder Module, Und durch Monoidringe.

Geschichte

Das Studium der Ringe entstand aus der Theorie der Polynomringe und die Theorie der algebraische Zahlentheorie, das algebraische Geometrie und der Invariante Theorie. Zentral für die Entwicklung dieser Studienrichtungen sind die Ringe der ganzen Zahlen in dem algebraische Zahlenfelder und algebraische Funktionsfelder und die Ringe von Polynomen in zwei oder mehr Variablen.

Leonhard Euler entdeckt diophantische Gleichungen deren (ganze) Lösungen am einfachsten mit irrationalen oder imaginären Zahlen zu finden sind. Carl Friedrich Gauß erkannte, dass diese Hilfszahlen so gut funktionieren, weil sie als ganze Zahlen erscheinen sich verhalten, und insbesondere, weil sie eine Art Primkonzept unterstützen, bei dem die eindeutige Faktorisierung in Primzahlen immer noch gilt (siehe Hauptsatz der Arithmetik). Biene Ernst Kummer und Richard Dedekind das wuchs in die ideales Konzept.^[1]

In der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts wurde das Erscheinen von hyperkomplexe Zahlen die Dominanz von Felder in der mathematischen Analyse. Die nichtkommutative Ringtheorie begann mit Versuchen, komplexe Zahlen erweiterbar mit verschiedenen hyperkomplex Zahlensysteme bzw. Dedekind führte 1876 erstmals das Konzept eines Rings ein. Der Begriff Nummernring war von David Hilbert dachte in seinem Artikel Die Theorie des algebraischen Zahlkörpers, Jahrbuch Mathematiker Vereinigung der Deutschen, Vol. 2, No. 4, 1897.

Während die Theorien der kommutativen und nicht-kommutativen Ringe im 19. Jahrhundert entstanden, reifte die Ringtheorie erst um 1920. Die erste axiomatische Definition eines Rings war Adolf Fraenkel in seinem Aufsatz in Zeitschrift für die reine und angewandte Mathematik (A.L. Crelle), vol. 145, 1914. In 1921 empfohlen Emmy Noether die erste axiomatische Grundlage für die Theorie der Kommutative Ringe in ihrem einflussreichen Artikel Ideale Theorie in Ringen.

Nützliche Aussagen

• Artin-Wedderburn-Theorem

Verallgemeinerungen

Jeder Ring kann verstanden werden als ein Prä-Additiv-Kategorie mit einem einzigen Objekt. Es ist daher sinnvoll, beliebige präadditive Kategorien als Verallgemeinerungen von Ringe. Tatsächlich können viele Definitionen und Sätze, die ursprünglich für die Ringtheorie formuliert wurden, in diesen allgemeineren Kontext "übersetzt" werden. Abzählbare Funktionen zwischen prä-additiven Kategorien verallgemeinern das Konzept von Ringhomomorphismen, und Ideale in additiven Kategorien können mit Addition als geschlossen definiert werden Kollektionen von Morphismen und unter Komposition mit beliebigen Morphismen.

Siehe auch

• Glossar der Ringtheorie

Verweise

1. ↑John Stillwell, "Mathematik und ihre Geschichte", 3. Auflage, Springer Undergraduate Texts in Mathematics 2010.

• (und) Geschichte der Ringtheorie auf der MacTutor-Archiv
• (und) Nathan Jacobson, Struktur der Ringe (Struktur der Ringe), American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 2, No. 37. Überarbeitete Ausgabe Amerikanische Mathematische Gesellschaft, Providence, R.I. 1964 x 299 S.
• (und) Nathan Jacobson, Die Theorie der Ringe (Die Theorie der Ringe). Mathematische Übersichten der American Mathematical Society, vol. ich. Amerikanische Mathematische Gesellschaft, New York, 1943. vi 150 pp.
• (und) Abstrakte Algebra: Theorie und Anwendungen (1997). Ein einführender Text zu Gruppen, Ringen, Integritätsdomänen, Feldern und der Galois-Theorie. Kostenlos herunterladbares PDF mit Open Source GFDL Lizenz.
• (und) Lam, T. Y., Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen (Ein erster Kurs in nichtkommutativen Ringen). Zweite Ausgabe. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx 385 pp. ISBN 0-387-95183-0
• (und) Lam, T. Y., Übungen zur klassischen Ringtheorie (Übungen zur klassischen Ringtheorie). Zweite Ausgabe. Problembücher der Mathematik. Springer-Verlag, New York, 2003. xx 359 S. ISBN 0-387-00500-5
• (und) Connell, Edwin, Kostenloses Online-Lehrbuch