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Invariantentheorie

In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, studiert die Invariante TheorieGruppenbearbeitungen von Gruppen auf algebraische Sorten im Hinblick auf ihre Wirkung auf Funktionen. Klassisch beschäftigt sich die Theorie mit der Frage nach einer expliziten Beschreibung von Polynomfunktionen, die sich nicht ändern, oder unveränderlich sind unter den Transformationen einer gegebenen lineare Gruppe.

Die invariante Theorie von endliche Gruppen hat eine sehr enge Bindung zu den Galois-Theorie. Eines der ersten wichtigen Ergebnisse war der Hauptsatz der symmetrische Funktionen, das sind die Invarianten der symmetrische Gruppesonein beschreibt, welche auf die PolynomringR[X1, ..., Xnein] durch Permutationen der Variablen. Allgemeiner gesagt, die Chevalley–Shephard–Todd . theoremendliche Gruppen, deren Invariantenalgebra a . ist Polynomring ist. Moderne Forschung in der Invariantentheorie der endliche Gruppen betont "effektive" Ergebnisse, wie explizite Begrenzungen der Grade der Generatoren. Der Fall von Positiv Eigenschaften, die dem ideologisch nahe steht Modulare Darstellungstheorie Staat, ist ein Bereich des aktiven Studiums, mit Verbindungen zum algebraische Topologie.

Invariante Theorie von unendliche Gruppen ist untrennbar mit der Entwicklung der Lineare Algebra, insbesondere die Theorien von quadratische Formen und Determinanten. Ein weiteres Thema mit starker gegenseitiger Beeinflussung war die projektive Geometrie, wo erwartet wurde, dass die Invariantentheorie eine wichtige Rolle bei der Organisation des Materials spielt. Einer der Höhepunkte dieser Beziehung ist die symbolische Methode. Das Darstellungstheorie von halbsinguläre Lie-Gruppen hat seine Wurzeln in der Invariantentheorie.

Geschichte

George Boolea, der sich nicht intensiv mit dem Thema beschäftigt hat, gab in seinem Artikel 'Exposition of a General Theory of Linear Transformations' (Das Cambridge Mathematical Journal, November 1841) leitete die Invariantentheorie ein. 1844 entdeckt in Ferdinand Eisenstein, in einer Ausarbeitung der Booleschen Ergebnisse, eine neue Klasse von Invarianten. Die Etablierung der Invariantentheorie als neuer Zweig der Mathematik wurde 1845 von Arthur Cayley mit seinem Artikel 'On the Theory of Linear Transformations'. Cayley entwickelte die Invariantentheorie in den folgenden Jahren vollständig, bald unterstützt von James Joseph Sylvester (die beiden waren als die 'Invarianten Zwillinge' bekannt) und später auch George Lachs (die drei von ihnen bekannt als 'Invariante Trinity'). Cayley wurde auch der Gründer der Matrixtheorie und der abstrakte Gruppentheorie, die auf der Theorie von Lineare Transformationen.[1]

David Hilberts Arbeiten zur Frage der endlichen Erzeugung der Invariantenalgebra (1890) führten zur Schaffung einer neuen mathematischen Disziplin, der abstrakte Algebra. Eine spätere Arbeit von Hilbert (1893) behandelte die gleichen Fragen in konstruktiveren und geometrischeren Formen, blieb aber bis David Mumford diese Ideen von Hilbert in den 1960er Jahren in seinem geometrische Invariantentheorie, in einer allgemeineren und moderneren Form. Zu einem großen Teil auf Mumfords Einfluss zurückzuführen, sieht man die Theorie der Handlungen von lineare algebraische Gruppen auf affin- und algebraische Sorten derzeit als Teil der Invariantentheorie. Ein eigener Teil der Invariantentheorie, der auf die klassischen konstruktiven und kombinatorischen Methoden des 19. Gian-Carlo Rota und seine Schule. Ein prominentes Beispiel dafür ist die Standardtheorie Mononome.

Siehe auch

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