WikiDer > L-полувнутренний продукт

L-semi-inner product

В математика, есть два разных понятия полу-внутренний продукт. Первый и более распространенный - это внутренний продукт, который не обязательно должен быть строго положительным. В этой статье речь пойдет о втором, называемом L-полувнутренний продукт или полувнутренний продукт в смысле Люмера. который является внутренним произведением, не обязательно сопряженно-симметричным. Его сформулировал Гюнтер Люмер, с целью расширения Гильбертово пространство введите аргументы для Банаховы пространства в функциональный анализ.[1] Основные свойства позже были исследованы Джайлзом.[2]

Определение

Мы еще раз упоминаем, что представленное здесь определение отличается от определения «полувнутреннего продукта» в стандартных учебниках по функциональному анализу.[3] где «полу-внутренний продукт» удовлетворяет всем свойствам внутренних продуктов (включая сопряженную симметрию), за исключением того, что он не обязательно должен быть строго положительным.

А полу-внутренний продукт, L-полувнутренний продукт, или полувнутренний продукт в смысле Люмера для линейное векторное пространство V над поле комплексных чисел является функцией от к , обычно обозначаемый , так что

  1. ,

Отличие от внутренних продуктов

Полускалярный продукт отличается от внутренних продуктов тем, что он, как правило, не является сопряженно-симметричным, т. Е.

в общем. Это эквивалентно тому, что [4]

Другими словами, полу-внутренние продукты обычно нелинейны относительно своей второй переменной.

Полубакальные продукты для банаховых пространств

определяет норма на .

  • Наоборот, если это нормированное векторное пространство с норма тогда всегда существует (не обязательно уникальный) полу-внутренний продукт на это последовательный с нормой на в том смысле, что

Примеры

имеет последовательный полу-внутренний продукт:

где

  • В общем, пространство из -интегрируемые функции на измерить пространство , где , с нормой

обладает последовательным полу-внутренним продуктом:

Приложения

  1. Следуя идее Люмера, полускалярные произведения широко применялись для изучения ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах.[5][6][7]
  2. В 2007 году Дер и Ли применили полу-внутренние продукты для разработки классификации большой маржи в банаховых пространствах.[8]
  3. В последнее время полу-внутренние продукты стали использоваться в качестве основного инструмента при разработке концепции воспроизведения банаховых пространств ядра для машинного обучения.[9]
  4. Полускалярные произведения также могут быть использованы для установления теории реперов, базисов Рисса для банаховых пространств.[10]

использованная литература

  1. ^ Люмер, Г. (1961), «Пространства с полупродуктом», Труды Американского математического общества, 100: 29–43, Дои:10.2307/1993352, Г-Н 0133024.
  2. ^ Дж. Р. Джайлз, Классы пространств полупродуктов, Труды Американского математического общества 129 (1967), 436–446.
  3. ^ Дж. Б. Конвей. Курс функционального анализа. 2-е издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1990, стр. 1.
  4. ^ С. В. Фадке и Н. К. Такар, When an s.i.p. пространство является гильбертовым пространством ?, The Mathematics Student 42 (1974), 193–194.
  5. ^ С. Драгомир, Полу-внутренние продукты и приложения, Nova Science Publishers, Hauppauge, New York, 2004.
  6. ^ Д. О. Кёлер, Заметка о некоторой теории операторов в некоторых пространствах с полупродуктами, Труды Американского математического общества 30 (1971), 363–366.
  7. ^ Э. Торранс, Строго выпуклые пространства через ортогональность пространств с полупродуктом, Труды Американского математического общества 26 (1970), 108–110.
  8. ^ Р. Дер и Д. Ли, Классификация с большими запасами в банаховых пространствах, Труды семинара и конференции JMLR 2: AISTATS (2007), 91–98.
  9. ^ Хайчжан Чжан, Юешэн Сюй и Цзюнь Чжан, Воспроизведение банаховых пространств ядра для машинного обучения, Journal of Machine Learning Research 10 (2009), 2741–2775.
  10. ^ Хайчжан Чжан и Цзюнь Чжан, Фреймы, базисы Рисса и дискретные разложения в банаховых пространствах с помощью полувнутренних произведений, Прикладной и вычислительный гармонический анализ 31 (1) (2011), 1–25.