WikiDer > Пространство Лоренца

Lorentz space

В математический анализ, Пространства Лоренца, введенные Джордж Г. Лоренц в 1950-х годах[1][2] являются обобщением более известных пробелы.

Пространства Лоренца обозначаются через . Словно пространства, они характеризуются норма (технически квазинорма), который кодирует информацию о "размере" функции, как и норма делает. Два основных качественных понятия «размера» функции: насколько высок график функции и насколько он разнесен. Нормы Лоренца обеспечивают более жесткий контроль над обоими качествами, чем нормы. норм, экспоненциально изменяя масштаб меры в обоих диапазонах () и область (). Нормы Лоренца, как и нормы, инвариантны относительно произвольных перестановок значений функции.

Определение

Пространство Лоренца на измерить пространство - пространство комплекснозначных измеримые функции на Икс так что следующие квазинорма конечно

куда и . Таким образом, когда ,

и когда ,

Также принято устанавливать .

Уменьшение перестановок

Квазинорма инвариантна относительно перестановки значений функции , по сути, по определению. В частности, учитывая комплексную измеримая функция определенный на пространстве меры, , это убывающая перестановка функция можно определить как

куда так называемый функция распределения из , данный

Здесь для удобства обозначений определяется как .

Две функции и находятся равноизмеримый, означающий, что

куда это Мера Лебега на реальной линии. Связанные симметричная убывающая перестановка функция, которая также равноизмерима с , будет определяться на реальной линии как

Учитывая эти определения, для

и , квазинормы Лоренца имеют вид

Пространства последовательностей Лоренца

Когда (счетная мера на ) получившееся пространство Лоренца является пространство последовательности. Однако в этом случае удобно использовать другие обозначения.

Определение.

за (или же в комплексном случае), пусть обозначим p-норму для и ∞-норма. Обозначим через банахово пространство всех последовательностей с конечной p-нормой. Позволять банахово пространство всех последовательностей, удовлетворяющих , наделенный ∞-нормой. Обозначим через нормированное пространство всех последовательностей с конечным числом ненулевых элементов. Все эти пространства играют роль в определении пространств последовательностей Лоренца. ниже.

Позволять последовательность положительных действительных чисел, удовлетворяющая , и определим норму . В Пространство последовательностей Лоренца определяется как банахово пространство всех последовательностей, в которых эта норма конечна. Эквивалентно, мы можем определить как завершение под .

Характеристики

Пространства Лоренца на самом деле являются обобщениями пространства в том смысле, что для любого , , что следует из Принцип Кавальери. Дальше, совпадает с слабый . Они есть квазибанаховы пространства (т. е. квазинормированные пространства, которые также полны) и нормируемы для и . Когда , снабжена нормой, но невозможно определить норму, эквивалентную квазинорме , слабые Космос. В качестве конкретного примера того, что неравенство треугольника не выполняется , учитывать

чей квазинорма равна единице, а квазинорма их суммы равно четырем.

Космос содержится в в любое время . Пространства Лоренца реальны интерполяционные пространства между и .

Смотрите также

Рекомендации

  • Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье, Тексты для выпускников по математике, 249 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, МИСТЕР 2445437.

Примечания

  1. ^ Г. Лоренц, "Некоторые новые функциональные пространства", Анналы математики 51 (1950), стр. 37-55.
  2. ^ Г. Лоренц, "К теории пространств Λ", Тихоокеанский математический журнал 1 (1951), стр. 411-429.