WikiDer > Quotientenkörper

EIN Quotientenfeld ist in der Mathematik es Körper das ist aus a Integritätsdomäne oder Integritätsbereich. Ein wichtiges Beispiel ist der Körper ${displaystyle mathbb {Q} }$ der Rationale Zahlen, als Quotientenfeld der Integritätsdomäne ${displaystyle mathbb {Z} }$ der ganze Zahlen. Ein Synonym für Quotientenfeld ist Bruchteilkörper.

Konstruktion

Sie R eine Integritätsdomäne. Man konstruiert sein Quotientenfeld wie folgt. Betrachten Sie es zuerst kartesisches Produkt

${displaystyle {overline {R}}=R imes left(Rsetminus {0}ight)=left{(r,s)in R imes R:seq 0ight}}$

Auf ${displaystyle {overline {R}}}$ wir betrachten die folgende Beziehung ${displaystyle sim}$:

${displaystyle (r,s)sim (u,v)Linksrechtspfeil rcdot v=scdot u}$

Das ist ein Äquivalenzrelation. Die zugrundeliegende Menge des Quotientenkörpers besteht aus den Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation und wird zu Q(R) bemerkt.

Eine Addition und eine Multiplikation in Q(R) kann wie folgt definiert werden:

${Anzeigestil (r,s) (u,v)=(r.v s.u,s.v)}$

${Anzeigestil (r,s)cdot (u,v)=(r.u,s.v)}$.

Es ist ersichtlich, dass diese Operationen in dem Sinne gut definiert sind, dass die Äquivalenzklasse des Ergebnisses nicht von dem gewählten Repräsentanten in den Äquivalenzklassen der Operanden abhängt. Es kann auch überprüft werden, dass diese Operationen der Menge der Äquivalenzklassen ein Feld bilden.

Die Äquivalenzklasse des Paares (r,so) wird normalerweise als Bruch geschrieben ${displaystyle {frac {r}{s}}}$, oder r/so, oder wenn die Teilung rs⁻¹. Leute rufen r das Zähler und so das Nenner des Bruches. Derselbe Bruch kann normalerweise mit verschiedenen Zählern und Nennern geschrieben werden, die den verschiedenen Elementen einer Äquivalenzklasse entsprechen.

Beispiele

• Wie oben erwähnt, sind rationale Zahlen Brüche, deren Zähler und Nenner ganze Zahlen sind.
• Jeder Körper ist eine Integritätsdomäne und entspricht seinem eigenen Teilkörper.
• Das Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten in einem bestimmten Körper k bilden eine Integritätsdomäne k[X]. Das Bruchfeld besteht aus den Polynombrüchen oder rationale Funktionen und wird k(X) bemerkt.
• Das analytische Funktionen auf einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlen einen Integritätsbereich bilden. Das Quotientenfeld besteht aus meromorphe Funktionen.

Einbetten einer Integritätsdomäne in ihren Quotientenkörper

Die Funktion, die jedes ursprüngliche Ringelement r zeigt auf dem Bruch r/1 ist ein Ringhomomorphismus von R zu Q(R). Dieser Homomorphismus ist injektiv, also R isomorph zu einem Teilungsring von Q(R).

Das Quotientenfeld ist der kleinste Körper, der R umfasst in dem Sinne, dass jeder Körper, der R enthält, hat einen Unterkörper, der isomorph ist zu Q(R).

Lokalisierung

Die obige Konstruktion kann auf zwei Arten weiter verallgemeinert werden. Einerseits entfällt die Anforderung, dass R ist eine Domäne, also R ist ein beliebiger kommutativer Ring mit Einheitselement. Andererseits nimmt man nicht unbedingt als Nenner die Menge R₀, aber eine beliebige Teilmenge so von R die multiplikativ abgeschlossen ist, d. h. das Produkt von zwei beliebigen Elementen von so zurück in so Lügen.

Wir definieren eine Äquivalenzrelation wie folgt ${displaystyle sim}$ auf dem kartesischen Produkt ${Anzeigestil R imes S}$:

${displaystyle (r,s)sim (u,v)Linksrechtspfeil existiert xin S:xcdot (rcdot v-scdot u)=0}$

Die rechte Seite ist etwas komplizierter als oben, weil R ist nicht unbedingt nullteilerfrei. Wenn wir die ursprüngliche Definition beibehalten würden, dann wäre die Transitivität der Beziehung ist nicht mehr gewährleistet.

Die Menge der Äquivalenzklassen wird Bruchring oder Lokalisierung von R im so erwähnt und notiert R_so oder RS⁻¹

Beispiel

wenn p ein Primideal ist von R, dann ist die ErgänzungssatzR-p multiplikativ geschlossen. Die Leute sprechen von der Lokalisierung von R im Primideal p und wird etwas widersprüchlich mit bezeichnet R_p. Dieser Ring besteht aus Brüchen, deren Nenner nicht im p Lügen. Es ist ein lokaler Ring, was die Namenslokalisierung rechtfertigt. Sein einzigartiges maximales Ideal besteht aus den Vielfachen der Elemente von p, genau genommen: der Brüche, deren Zähler ein Vielfaches von . ist p, und nicht der Nenner.

Der Quotientenkörper einer Domäne ist ein Spezialfall davon, der sich aus der Betrachtung des Primideals {0} ergibt.

Einbettung

Das oben definierte Bild r auf r/1 ist immer noch ein Homomorphismus von Ringen. Es ist jedoch nur injektiv, wenn R ist eine Integritätsdomäne.