WikiDer > Lokaler Ring

In dem kommutative Algebra sein lokale RingeRinge mit einem ganz einfachen Struktur, vor allem weil sie nur einen haben maximal ideal besitzen. In dem algebraische Geometrie sie fungieren als Ringe von Keime von regulären Funktionen in der Nähe eines Punktes, genannt streiken. In dem Zahlentheorie sie repräsentieren das Verhalten eines Zahlenrings in Bezug auf ein bestimmtes Primzahl.

Wolfgang Krull führte 1938 das Ortsringkonzept unter dem Namen Paar Ringe. Der Name "Lokaler Ring" stammt von Oscar Zarisk.

Formale Definition

Für ein Kommutativ RingR mit neutrales Element die folgenden beiden Eigenschaften sind äquivalent:

• R hat nur ein Maximum Ideal,
• die Nicht-invertierbar Elemente von R ein Ideal bilden.

R heißt lokal, wenn es eine der beiden, d. h. beide Eigenschaften erfüllt.

Beispiele und Gegenbeispiele

1. Körper sind lokale Ringe. Nur 0 ist nicht umkehrbar und {0} ist ein Ideal.
2. Sie R der Ring von rationale Funktionen, Quotienten von zwei Polynome mit echt Koeffizienten die in der Umgebung von 0 definiert sind. Der Nenner eines solchen Bruches hat eine Konstante, die nicht 0 ist. Der Bruch ist reversibel dann und nur dann, wenn der Zähler hat auch eine andere Konstante als 0. Die irreversiblen Elemente sind genau die rationalen Funktionen, die den Wert 0 in 0 annehmen, und sie bilden ein (maximales) Ideal.
3. Sie R der Ring von Keime von stetige reellwertige Funktionen auf beliebig kleinen Umgebungen von 0. Ähnlich wie im vorherigen Beispiel bilden die Keime, die den Wert 0 in 0 setzen, das einzige maximale Ideal von r.
4. Der Ring ${displaystyle mathbb {Z} }$ der ganze Zahlen ist nicht lokal, weil jeder Primzahlp bringt ein maximales Ideal: p her.
5. Das Rationale Zahlen deren Nenner nicht durch eine Primzahl gegeben ist p zu teilen ist, einen lokalen Ring zu bilden. Das maximale Ideal besteht aus den Brüchen, deren Zähler p geteilt werden kann.
6. Der Ring ${displaystyle mathbb {R} [X]}$ der reellen Polynome in einer Variablen ist nicht lokal, denn für jede reelle Zahl ein bringt die zwei BegriffX-ein ein maximales Ideal (X-ein) fortsetzen.

Verwandte Begriffe

Halblokaler Ring

Ein Ring heißt halblokal oder halblokal wenn er nur einer endlich Anzahl maximaler Ideale.

Restklassenkörper

Sie R ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m. Der Quotientenring R/m heißt dann Körper, Restklassenkörper oder Restkörper.

Lokalisierung

wenn ein eine zufällige Kommutativer Ring mit Einheitselement ist, und p ein Primideal von ein, dann kann man die Quotientenring mit den Brüchen, deren Zähler in . ist ein liegt und der Nenner ist in ein aber draußen p. Zwei Brüche Asche und b/t heißen äquivalent, wenn es ein Element gibt Sie Draußen p existiert, damit (beim-bs)Sie=0.

Der dadurch entstandene Ring wird zu ein_p notiert und heißt die Lokalisierung von ein im p. Es ist ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal der Brüche, deren Zähler in . ist p Lügen.

Brüche eines ganzen Rings

Ein Sonderfall entsteht, wenn in ein Nein Nullteiler verhindern, also Integritätsdomäne), denn dann ist das Ideal {0} ein Primideal. Die Lokalisierung auf dieses Primideal besteht aus allen Brüchen, deren Zähler und Nenner in ein vorausgesetzt, der Nenner kann nicht 0 sein. Zwei Brüche Asche und b/t sind genau dann äquivalent, wenn beim-bs=0. Der resultierende lokale Ring ist ein Körper, Bruchkörper oder Quotientenfeld von ein genannt, mit maximalem Ideal {0}.

Homomorphismen

EIN Homomorphismus zwischen Kommutative Ringe mit Einheit hat die Eigenschaft, dass das Umkehrbild von a Primideal ist immer ein Primideal. Das Umkehrbild eines maximalen Ideals ist jedoch nicht immer maximal, selbst wenn die Ringe lokal sind. Deshalb wird es in der verwendet Kategorie der lokalen Ringe als Morphismen die lokalen Homomorphismen: Dies sind die Homomorphismen zwischen lokalen Ringen mit der Eigenschaft, dass das inverse Abbild des eindeutigen maximalen Ideals des Zielrings genau das maximale Ideal des Domänenrings ist.

Gegenbeispiel

Sie p eine Primzahl. Die Lokalisierung der ganze Zahlen im Primideal (p) bildet a Teilmenge der rationalen Zahlen:

${displaystyle {hbox{id}}:mathbb {Z} _{p} oder mathbb {Q} }$

Das einzige maximale Ideal der rationalen Zahlen ist die Singleton {0}, aber sein inverses Bild ist im lokalen Ring nicht maximal ${displaystyle mathbb {Z}_{p}}$.