WikiDer > Релятивистские волновые уравнения - Википедия

Relativistic wave equations - Wikipedia

В физика, конкретно релятивистская квантовая механика (RQM) и его приложения к физика элементарных частиц, релятивистские волновые уравнения предсказывать поведение частицы на высоком энергии и скорости сопоставимо с скорость света. В контексте квантовая теория поля (QFT) уравнения определяют динамику квантовые поляРешения уравнений, универсально обозначаемые как ψ или же Ψ (Греческий psi), называются "волновые функции"в контексте RQM, и"поля"в контексте КТП. Сами уравнения называются" волновыми уравнениями "или" уравнениями поля ", потому что они имеют математическую форму волновое уравнение или генерируются из Плотность лагранжиана и теоретико-полевые Уравнения Эйлера – Лагранжа. (видеть классическая теория поля для фона).

в Картина Шредингера, волновая функция или поле является решением Уравнение Шредингера;

один из постулаты квантовой механики. Все релятивистские волновые уравнения можно построить, задав различные формы Гамильтонов оператор ЧАС описывая квантовая система. В качестве альтернативы, Фейнманс формулировка интеграла по путям использует лагранжиан, а не гамильтонов оператор.

В более общем плане - современный формализм релятивистских волновых уравнений таков: Группа Лоренца теория, в которой спин частицы соответствует представления группы Лоренца.[1]

История

Начало 1920-х: классическая и квантовая механика

Провал классическая механика применительно к молекулярный, атомный, и ядерный систем и меньше вызвали потребность в новой механике: квантовая механика. Математическая формулировка была проведена Де Бройль, Бор, Шредингер, Паули, и Гейзенберг, и другие, примерно в середине 1920-х годов, и в то время было аналогом классической механики. В Уравнение Шредингера и Картинка Гейзенберга напоминают классический уравнения движения в пределе большого квантовые числа и как сокращенный Постоянная Планка час, квант действие, стремится к нулю. Это принцип соответствия. На этой точке, специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга, как первоначально предлагалось, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся вблизи скорость света, или при изменении количества частиц каждого типа (это происходит в реальной взаимодействия частиц; многочисленные формы частицы распадаются, уничтожение, создание материи, парное производство, и так далее).

Конец 1920-х: релятивистская квантовая механика спина-0 и спина-1/2 частицы

Описание квантово-механических систем, которые могли бы объяснить релятивистский эффекты искали многие физики-теоретики; с конца 1920-х до середины 1940-х гг.[2] Первая основа для релятивистская квантовая механика, т.е. специальная теория относительности, применяемая вместе с квантовой механикой, была обнаружена всеми, кто открыл то, что часто называют Уравнение Клейна – Гордона:

 

 

 

 

(1)

вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистский соотношение энергия-импульс:

 

 

 

 

(2)

Решения (1) находятся скалярные поля. Уравнение KG нежелательно из-за его предсказания отрицательный энергии и вероятности, в результате квадратичный природа (2) - неизбежное в релятивистской теории. Это уравнение было первоначально предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам, только чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называют Уравнение Шредингера) по-прежнему было важным. Тем не менее, - (1) применимо к спину 0 бозоны.[3]

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могли предсказать тонкая структура в Спектральная серия водорода. Таинственное основное свойство было вращение. Первый двумерный спиновые матрицы (более известный как Матрицы Паули) были представлены Паули в Уравнение Паули; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающим дополнительный член для частиц в магнитные поля, но это было феноменологический. Weyl нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; то Уравнение Вейля, за безмассовый вращение-1/2 фермионы. Проблема была решена Дирак в конце 1920-х годов, когда он продвинул применение уравнения (2) к электрон - различными манипуляциями факторизовал уравнение в виде:

 

 

 

 

()

и одним из этих факторов является Уравнение Дирака (см. ниже) после вставки операторов энергии и импульса. Впервые введены новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистском волновом уравнении и объяснил тонкую структуру водорода. Решения () являются многокомпонентными спинорные поля, и каждый компонент удовлетворяет (1). Замечательный результат спинорных решений состоит в том, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина описывает античастица; в этом случае электрон и позитрон. Теперь известно, что уравнение Дирака применимо для всех массивных вращение-1/2 фермионы. В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, а в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Хотя уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно верно только для спиновых1/2 фермионов, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, которые вызывали разногласия в то время (в частности, не всем физикам нравилось "Море Дирака«состояний с отрицательной энергией).

1930–1960-е годы: релятивистская квантовая механика частиц высших спинов.

Стала ясна естественная проблема: обобщить уравнение Дирака на частицы с любое вращение; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно из-за спинор формализм, введенный Дираком в его уравнение, и недавние разработки спинорного исчисления ван дер Варден в 1929 г.), а в идеале - с решениями с положительной энергией.[2]

Это было введено и решено Майораном в 1932 году, отклонившись от Дирака. Майорана считается одним из «корней» ():

 

 

 

 

(3B)

куда ψ теперь спинорное поле с бесконечным числом компонент, неприводимое к конечному числу тензоры или спиноры, чтобы убрать неопределенность в знаке. В матрицы α и β - бесконечномерные матрицы, связанные с бесконечно малыми Преобразования Лоренца. Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B чтобы удовлетворить уравнению (2), вместо этого он восстановил уравнение, используя Лоренц-инвариантный действие, через принцип наименьшего действия, и применение Группа Лоренца теория.[4][5]

Майорана внес и другие важные вклады, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различной размерности (5, 6 и 16). Их предвосхитили позже (более активно) де Бройль (1934) и Даффин, Кеммер и Петио (около 1938–1939) см. Алгебра Даффина – Кеммера – Петио. Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новым математическим инструментом в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнер потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году.[2]

Дирак в 1936 г. и Фирц и Паули в 1939 г. построили уравнения из неприводимых спиноров. А и Bсимметричной по всем индексам для массивной частицы со спином п + ½ для целого числа п (видеть Обозначения Ван дер Вардена для значения пунктирных индексов):

 

 

 

 

()

 

 

 

 

(4B)

куда п - импульс как ковариантный спинорный оператор. За п = 0, уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака и А и B вместе трансформируются как оригинал Спинор Дирака. Устранение либо А или же B показывает, что А и B каждый выполнить (1).[2]

В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на спин-32 частиц и получил Уравнение Рариты – Швингера, включая Лагранжиан для его генерации, а затем обобщил уравнения, аналогичные спину п + ½ для целого числа п. В 1945 году Паули предложил опубликовать статью Майораны 1932 года. Бхабха, который вернулся к общим идеям, представленным Майораном в 1932 году. Бхабха и Любански предложили полностью общую систему уравнений, заменив массовые члены в () и (3B) произвольной константой при соблюдении набора условий, которым должны подчиняться волновые функции.[6]

Наконец, в 1948 году (в том же году, что и Фейнманс формулировка интеграла по путям был отлит), Bargmann и Вигнер сформулировал общее уравнение для массивных частиц, которые могут иметь любой спин, рассматривая уравнение Дирака с полностью симметричным конечнокомпонентным спинором и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): Уравнения Баргмана – Вигнера.[2][7] В начале 1960-х годов переформулировка уравнений Баргмана – Вигнера была сделана Х. Джус и Стивен Вайнберг, то Уравнение Джооса – Вайнберга. В то время различные теоретики проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высокими спинами.[1][8][9]

1960-е годы по настоящее время

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной задачей в квантовой теории. Это все еще область современных исследований, потому что проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют.[5]

Линейные уравнения

Следующие уравнения имеют решения, удовлетворяющие принцип суперпозиции, т.е. волновые функции равны добавка.

Повсюду стандартные соглашения обозначение тензорного индекса и Обозначение слэша Фейнмана используются, включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобных компонентов индексируемых величин. Обозначим волновые функции ψ, и μ компоненты четырехступенчатый оператор.

В матрица уравнения, Матрицы Паули обозначаются σμ в котором μ = 0, 1, 2, 3, куда σ0 это 2 × 2 единичная матрица:

а остальные матрицы имеют свои обычные представления. Выражение

это 2 × 2 матрица оператор действующий на 2-компонентный спинорные поля.

В гамма-матрицы обозначаются γμ, в котором снова μ = 0, 1, 2, 3, и есть несколько представлений на выбор. Матрица γ0 является нет обязательно 4 × 4 единичная матрица. Выражение

это 4 × 4 матрица оператор который действует на 4-компонентный спинорные поля.

Обратите внимание, что такие термины, как "MC" скалярное умножение ан единичная матрица соответствующих измерение, общие размеры 2 × 2 или же 4 × 4, и являются условно не написано для простоты.

Частицы квантовое число спина sИмяУравнениеТипичные частицы, описываемые уравнением
0Уравнение Клейна – ГордонаБезмассовая или массивная частица со спином 0 (например, Бозоны Хиггса).
1/2Уравнение ВейляБезмассовые частицы со спином 1/2.
Уравнение ДиракаМассивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны).
Двухчастичные уравнения Дирака

Массивные частицы со спином 1/2 (такие как электроны).
Уравнение майоранаМассивный Майорановые частицы.
Уравнение БрейтаДве массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны) электромагнитно взаимодействуют в первом порядке теории возмущений.
1Уравнения МаксвеллаQED с использованием Датчик Лоренца)Фотоны, безмассовые частицы со спином 1.
Уравнение ПрокаМассивная частица со спином 1 (например, W- и Z-бозоны).
3/2Уравнение Рариты – ШвингераМассивные частицы со спином 3/2.
sУравнения Баргмана – Вигнера

куда ψ ранг-2s 4-х компонентный спинор.

Свободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).[8][10]
Уравнение Джооса – ВайнбергаСвободные частицы произвольного спина (бозоны и фермионы).

Линейные калибровочные поля

В Уравнение Даффина – Кеммера – Петио. альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:

Строительство RWE

Используя 4-векторы и соотношение энергии-импульса

Начни со стандарта специальная теория относительности (SR) 4-вектора

4 позиции
4-скоростной
4-импульс
4-волновой вектор
4-градиентный

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим Скаляр Лоренца:

, куда это подходящее время
, куда это масса покоя
, какой 4-вектор версия Соотношение Планка – Эйнштейна и де Бройль волна материи связь
, какой 4-градиентный версия комплексный плоские волны

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

Последнее уравнение является фундаментальным квантовым соотношением.

Применительно к скалярному полю Лоренца , мы получаем уравнение Клейна – Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений.

: в 4-векторном формате
: в тензорном формате
: в факторизованном тензорном формате

В Уравнение Шредингера это низкоскоростной предельный случай (v << c) из Уравнение Клейна – Гордона.

Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю вместо скалярного поля Лоренца , то получается Уравнение ПрокаДатчик Лоренца):

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободный Уравнение МаксвеллаДатчик Лоренца)

Представления группы Лоренца.

Под надлежащим ортохронный Преобразование Лоренца Икс → ΛИкс в Пространство Минковского, все одночастичные квантовые состояния ψjσ спина j со спиновой z-компонентой σ локально преобразовать под некоторыми представление D из Группа Лоренца:[11][12]

куда D(Λ) - некоторое конечномерное представление, т.е. матрица. Здесь ψ считается вектор столбца содержащие компоненты с допустимыми значениями σ. В квантовые числа j и σ а также другие метки, непрерывные или дискретные, представляющие другие квантовые числа, подавляются. Одно значение σ может происходить более одного раза в зависимости от представления. Представления с несколькими возможными значениями для j рассматриваются ниже.

В неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел (А, B). Все остальные представления могут быть построены с использованием различных стандартных методов, таких как взятие тензорные произведения и прямые суммы. Особенно, пространство-время сам по себе представляет собой 4-вектор представление (1/2, 1/2) так что Λ ∈ D '(1/2, 1/2). Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразовать под (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) представление. В целом (А, B) пространство представления имеет подпространства что под подгруппа пространственных вращения, ТАК (3), преобразовываются несводимо, как объекты вращения j, где каждое допустимое значение:

происходит ровно один раз.[13] В целом, тензорные произведения неприводимых представлений приводимы; они разлагаются как прямые суммы неприводимых представлений.

Представления D(j, 0) и D(0, j) может каждая отдельно представлять частицы спина j. Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения

Есть уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные калибровочные поля

Спин 2

Решение - это метрика тензорное поле, а не волновая функция.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Т. Ярошевич; П.С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики. Bibcode:1992AnPhy.216..226J. Дои:10.1016 / 0003-4916 (92) 90176-М.
  2. ^ а б c d е С. Эспозито (2011). «В поисках уравнения: Дирак, Майорана и другие». Анналы физики. 327 (6): 1617–1644. arXiv:1110.6878. Bibcode:2012AnPhy.327.1617E. Дои:10.1016 / j.aop.2012.02.016. S2CID 119147261.
  3. ^ Б. Р. Мартин, Г. Шоу (2008). Физика элементарных частиц. Серия Manchester Physics (3-е изд.). Джон Вили и сыновья. п.3. ISBN 978-0-470-03294-7.
  4. ^ Р. Касалбуони (2006). «Майорана и волновые уравнения с бесконечной составляющей». Pos Emc. 2006: 004. arXiv:hep-th / 0610252. Bibcode:2006hep.th ... 10252C.
  5. ^ а б X. Bekaert; М.Р. Траубенберг; М. Валенсуэла (2009). «Бесконечный супермультиплет массивных полей высших спинов». Журнал физики высоких энергий. 2009 (5): 118. arXiv:0904.2533. Bibcode:2009JHEP ... 05..118B. Дои:10.1088/1126-6708/2009/05/118. S2CID 16285006.
  6. ^ Р.К. Лоиде; I. Отс; Р. Саар (1997). «Релятивистские волновые уравнения Бхабхи». Журнал физики A: математические и общие. 30 (11): 4005–4017. Bibcode:1997JPhA ... 30.4005L. Дои:10.1088/0305-4470/30/11/027.
  7. ^ Bargmann, V .; Вигнер, Э. П. (1948). «Теоретико-групповое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Proc. Natl. Акад. Sci. СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ. 34 (5): 211–23. Bibcode:1948ПНАС ... 34..211Б. Дои:10.1073 / pnas.34.5.211. ЧВК 1079095. PMID 16578292.
  8. ^ а б E.A. Джеффри (1978). «Компонентная минимизация волновой функции Баргмана – Вигнера». Австралийский журнал физики. 31 (2): 137–149. Bibcode:1978AuJPh..31..137J. Дои:10.1071 / ph780137.
  9. ^ Р. Ф. Гертин (1974). «Релятивистские гамильтоновы уравнения для любого спина». Анналы физики. 88 (2): 504–553. Bibcode:1974AnPhy..88..504G. Дои:10.1016/0003-4916(74)90180-8.
  10. ^ Р. Кларксон, D.G.C. МакКеон (2003). «Квантовая теория поля» (PDF). С. 61–69. Архивировано из оригинал (PDF) на 30.05.2009.
  11. ^ Вайнберг, С. (1964). "Правила Фейнмана для любого вращение" (PDF). Phys. Rev. 133 (5B): B1318 – B1332. Bibcode:1964ПхРв..133.1318Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.133.B1318.; Вайнберг, С. (1964). "Правила Фейнмана для любого вращение. II. Безмассовые частицы » (PDF). Phys. Rev. 134 (4B): B882 – B896. Bibcode:1964ПхРв..134..882Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.134.B882.; Вайнберг, С. (1969). "Правила Фейнмана для любого вращение. III " (PDF). Phys. Rev. 181 (5): 1893–1899. Bibcode:1969ПхРв..181.1893Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.181.1893.
  12. ^ К. Масакацу (2012). "Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в постановке Баргмана – Вигнера". arXiv:1208.0644 [gr-qc].
  13. ^ Вайнберг, S (2002), "5", Квантовая теория полей, том I, п.[1], ISBN 0-521-55001-7

дальнейшее чтение