WikiDer > Подкатегория

Subcategory

В математика, конкретно теория категорий, а подкатегория из категория C это категория S чей объекты объекты в C и чей морфизмы морфизмы в C с такими же тождествами и составом морфизмов. Интуитивно подкатегория C категория, полученная из C «убрав» некоторые из его объектов и стрелок.

Формальное определение

Позволять C быть категорией. А подкатегория S из C дан кем-то

  • подколлекция объектов C, обозначается ob (S),
  • подколлекция морфизмов C, обозначается hom (S).

такой, что

  • для каждого Икс в об (S), тождественный морфизм idИкс находится в доме (S),
  • для каждого морфизма ж : ИксY в доме (S), оба источника Икс и цель Y находятся в об (S),
  • для каждой пары морфизмов ж и грамм в доме (S) композит ж о грамм находится в доме (S) всякий раз, когда он определен.

Эти условия гарантируют, что S является самостоятельной категорией: ее набор объектов - ob (S) его набор морфизмов - это hom (S), а его идентичность и состав такие же, как в C. Есть очевидное верный функтор я : SC, называется функтор включения который берет на себя объекты и морфизмы.

Позволять S быть подкатегорией категории C. Мы говорим что S это полная подкатегория C если для каждой пары объектов Икс и Y из S,

Полная подкатегория - это та, которая включает все морфизмы между объектами S. Для любой коллекции предметов А в C, существует единственная полная подкатегория C чьи объекты находятся в А.

Примеры

Вложения

Учитывая подкатегорию S из C, функтор включения я : SC является одновременно точным функтором и инъективный на объектах. это полный если и только если S это полная подкатегория.

Некоторые авторы определяют встраивание быть полный и точный функтор. Такой функтор обязательно инъективен на объектах до изоморфизм. Например, Йонеда вложение в этом смысле является вложением.

Некоторые авторы определяют встраивание быть полным и точным функтором, инъективным для объектов.[1]

Другие авторы определяют функтор как встраивание если он верен и объективен по предметам. F является вложением, если оно инъективно на морфизмах. Функтор F тогда называется полное встраивание если это полный функтор и вложение.

С определениями из предыдущего абзаца для любого (полного) вложения F : BC в изображение из F это (полная) подкатегория S из C, и F вызывает изоморфизм категорий между B и S. Если F не является инъективным на предметах, то изображение F является эквивалент к B.

В некоторых категориях можно также говорить о морфизмах категории вложения.

Типы подкатегорий

Подкатегория S из C как говорят изоморфизм-замкнутый или же насыщенный если каждый изоморфизм k : ИксY в C такой, что Y в S также принадлежит S. Замкнутая по изоморфизму полная подкатегория называется строго полный.

Подкатегория C является широкий или же lluf (термин, впервые введенный Питер Фрейд[2]), если он содержит все объекты C.[3] Широкая подкатегория обычно не является полной: единственной широкой полной подкатегорией категории является сама эта категория.

А Подкатегория Серра непустая полная подкатегория S из абелева категория C такой, что для всех короткие точные последовательности

в C, M принадлежит S если и только если оба и делать. Это понятие возникает из C-теория Серра.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Яап ван Остен. «Базовая теория категорий» (PDF).
  2. ^ Фрейд, Питер (1991). «Алгебраически полные категории». Труды Международной конференции по теории категорий, Комо, Италия (CT 1990). Конспект лекций по математике. 1488. Springer. С. 95–104. Дои:10.1007 / BFb0084215. ISBN 978-3-540-54706-8.
  3. ^ Широкая подкатегория в nLab