WikiDer > Подкатегория

Subcategory

В математика, конкретно теория категорий, а подкатегория из категория C это категория S чей объекты объекты в C и чей морфизмы морфизмы в C с такими же тождествами и составом морфизмов. Интуитивно подкатегория C категория, полученная из C «убрав» некоторые из его объектов и стрелок.

Формальное определение

Позволять C быть категорией. А подкатегория S из C дан кем-то

подколлекция объектов C, обозначается ob (S),
подколлекция морфизмов C, обозначается hom (S).

такой, что

для каждого Икс в об (S), тождественный морфизм id_Икс находится в доме (S),
для каждого морфизма ж : Икс → Y в доме (S), оба источника Икс и цель Y находятся в об (S),
для каждой пары морфизмов ж и грамм в доме (S) композит ж о грамм находится в доме (S) всякий раз, когда он определен.

Эти условия гарантируют, что S является самостоятельной категорией: ее набор объектов - ob (S) его набор морфизмов - это hom (S), а его идентичность и состав такие же, как в C. Есть очевидное верный функтор я : S → C, называется функтор включения который берет на себя объекты и морфизмы.

Позволять S быть подкатегорией категории C. Мы говорим что S это полная подкатегория C если для каждой пары объектов Икс и Y из S,

{ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathcal {S}} (X, Y) = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, Y).}

Полная подкатегория - это та, которая включает все морфизмы между объектами S. Для любой коллекции предметов А в C, существует единственная полная подкатегория C чьи объекты находятся в А.

Примеры

Категория конечные множества образует полную подкатегорию категория наборов.
Категория, объектами которой являются множества, а морфизмы - биекции образует неполную подкатегорию категории множеств.
В категория абелевых групп образует полную подкатегорию категория групп.
Категория кольца (чьи морфизмы единица измерения-сохранение гомоморфизмы колец) образует неполную подкатегорию категории rngs.
Для поле K, категория K-векторные пространства образует полную подкатегорию категории (слева или справа) K-модули.

Вложения

Учитывая подкатегорию S из C, функтор включения я : S → C является одновременно точным функтором и инъективный на объектах. это полный если и только если S это полная подкатегория.

Некоторые авторы определяют встраивание быть полный и точный функтор. Такой функтор обязательно инъективен на объектах до изоморфизм. Например, Йонеда вложение в этом смысле является вложением.

Некоторые авторы определяют встраивание быть полным и точным функтором, инъективным для объектов.^[1]

Другие авторы определяют функтор как встраивание если он верен и объективен по предметам. F является вложением, если оно инъективно на морфизмах. Функтор F тогда называется полное встраивание если это полный функтор и вложение.

С определениями из предыдущего абзаца для любого (полного) вложения F : B → C в изображение из F это (полная) подкатегория S из C, и F вызывает изоморфизм категорий между B и S. Если F не является инъективным на предметах, то изображение F является эквивалент к B.

В некоторых категориях можно также говорить о морфизмах категории вложения.

Типы подкатегорий

Подкатегория S из C как говорят изоморфизм-замкнутый или же насыщенный если каждый изоморфизм k : Икс → Y в C такой, что Y в S также принадлежит S. Замкнутая по изоморфизму полная подкатегория называется строго полный.

Подкатегория C является широкий или же lluf (термин, впервые введенный Питер Фрейд^[2]), если он содержит все объекты C.^[3] Широкая подкатегория обычно не является полной: единственной широкой полной подкатегорией категории является сама эта категория.

А Подкатегория Серра непустая полная подкатегория S из абелева категория C такой, что для всех короткие точные последовательности