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Venn-Diagramm der symmetrischen Differenz (rot) zweier Mengen

In dem Mengenlehre ist der symmetrischer Unterschied von zwei Kollektionen die Sammlung, die Elemente enthält, die zu einer der beiden Mengen gehören, aber nicht zu beiden. Der symmetrische Unterschied von ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ wird notiert als ${displaystyle ADelta B}$. Die symmetrische Differenz entspricht dem "exklusiven Oder" ("exklusive Disjunktion"), also dem Operator XOR.

Definition

Es symmetrischer Unterschied${displaystyle ADelta B}$ der Kollektionen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ ist die Menge definiert durch:

${displaystyle Adelta B={xin Acup Bmid xot in Acap B}}$

Die symmetrische Differenz kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle ADelta B=(Acup B)setminus(Acap B)}$

${displaystyle ADelta B=(Asetminus B)cup (Bsetminus A)}$

${Displaystil Adelta B=(Acap B^{c})cup (Bcap A^{c})}$

Eigenschaften

Kommutativität:

${displaystyle ADelta B=BDelta A}$

Assoziativität

${Anzeigestil (ADelta B) Delta C = ADelta (BDelta C)}$

Das leere Sammlung ist neutrales Element

${displaystyle ADelta varnothing =A}$

Jede Kollektion ist ihre eigene Gegenteil:

${displaystyle ADelta A=varnothing }$

Zusammen bedeuten diese Eigenschaften, dass die Teilmengen einer gegebenen Menge a abelsche Gruppe Formen mit der symmetrischen Differenz als Gruppenbearbeitung. Und weil jedes Element sein eigenes Gegenteil ist, bilden die Teilmengen a Vektorraum über die endlicher Körper${displaystyle mathbb {Z}_{2}}$ mit zwei Elementen.

Überschneidung ist verteilend:

${Anzeigestil Acap(BDelta C)=(Acap B)Delta(Acap C),}$

so dass die Teilmengen sogar a . haben Ring Formen mit der symmetrischen Differenz als Addition und Querschnitt als Multiplikation.

Verallgemeinerung

In einem boolsche Algebra analog zu Mengen ist die symmetrische Differenz zweier Elemente definiert als exklusive Disjunktion (xor):

${displaystyle a{unterstreichen {lor}}b=(alor b)land lnot (aland b)=(aland lnot b)or (fland lnot a)}$

Siehe auch

• Unterschied
• Überschneidung
• Verband