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EIN Fliesen oder tessellieren von a eben ist eine Möglichkeit, diesen Bereich mit Kacheln abzudecken, ohne dass sich einige Kacheln überlappen. MC Escher in seinem gemacht Kunst viel verwendung von fliesen. Wir sehen überall Kunstgeschichte, von der antiken Architektur bis zur modernen Kunst, Fliesen kehrt zurück. Ein Beispiel für eine Kachelung ist die regelmäßige Art und Weise, in der glasiert Fliesen werden auf den Boden gelegt. Man spricht auch davon, Teile einer Ebene zu kacheln, in mehr Dimensionen und in a hyperbolische Ebene.
In dem Latein war ein tessella ein kleines würfelförmiges Stück Lehm, Stein oder Glas das war gewohnt Mosaik liegen.[1]tessella, von tessera, bedeutet 'kleines Quadrat' und kommt aus dem Altgriechischα, was vier bedeutet.
Es gibt einen Unterschied zwischen Fliesen mit und ohne Translationssymmetrie, aber die Anzahl der Kacheln mit Translationssymmetrie ist viel größer als die Anzahl ohne. Sofern nicht anders angegeben, handelt es sich um Kacheln mit Translationssymmetrie.
Zwei Dimensionen
Definitionen
Eine Kachelung heißt regulär, wenn alle Polygone oder Fliesen kongruent sein.
- Eine Kachelung ist Scheitelpunkt transitiv oder isogonal, wenn für jedes Paar Scheitelpunkte P, Q der Kachelung a Isometrie existiert, der die Kachelung auf sich selbst abbildet und P auf Q abbildet. Eine notwendige Bedingung ist, dass in allen Scheitelpunkten die gleichen Polygontypen in gleicher oder umgekehrter zyklischer Reihenfolge zusammenkommen.
- Eine Kachelung ist eben transitiv oder isoedrisch, wenn für jedes Polygonpaar V, W der Kachelung eine Isometrie existiert, die die Kachelung auf sich selbst abbildet und V auf W abbildet. Die isohedralen und die regulären Kacheln sind gleich.
Eine Kachelung ist einheitlich, wenn nur alle Kacheln regelmäßige Vielecke und die Kachelung ist eckpunkttransitive. Die Scheitelpunktkonfiguration gibt an, welche Polygone in einem Scheitelpunkt zusammenkommen, zum Beispiel 4.8.8, wenn ein Quadrat und zwei regelmäßige Achtecke zusammenkommen. Eine gleichmäßige Kachelung ist halbregelmäßig, wenn sie nicht regelmäßig ist.
Normales Fliesenlegen
Neben Isometrie und Skalierung gibt es drei reguläre Kacheln, nämlich die mit der Scheitelpunktkonfiguration 3.3.3.3.3.3, 4.4.4.4 und 6.6.6:
 mit gleichseitigen Dreiecken |  mit Quadraten |  mit regelmäßigen Sechsecken, die Wabenstruktur |
Das erste und das dritte sind gegenseitig dual, die Mittelpunkte der Polygone des einen sind die Scheitelpunkte des anderen außer für Skalierung und Drehung, das zweite ist selbstdual. Der erste und der dritte haben das gleiche Symmetriegruppe.
Die Anzahl der Winkel, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen, ist
Mit regelmäßiger Tesselation mit regelmäßig -Ecken müssen daher 4 . durchlaufen geteilt werden kann. Das gibt für Optionen 3, 4 und 6.
Das Verhältnis der Anzahl der Ecken, der Anzahl der Seiten und der Anzahl der -Winkel ist . Das ist für gleichseitige Dreiecke, Quadrate und regelmäßige Sechsecke 1:3:2, 1:2:1 und 2:3:1.
Gleichmäßige Fliesenverlegung
Es gibt elf verschiedene einheitliche Kacheln, von denen drei regelmäßig und acht halbregelmäßig sind. Die acht halbregelmäßigen Kacheln sind unten dargestellt.
3.3.3.4.4
3.3.4.3.4
3.6.3.6
3.3.3.3.6 zwei gespiegelte Varianten
3.4.6.4
3.12.12
4.8.8
4.6.12
Fliesen mit identischen Fliesen
Fliesen mit identischen Fliesen können mit Dreiecken, Vierecken, Fünfecken und Sechsecken hergestellt werden. Die Ebene kann mit allen Dreiecken und Vierecken gefüllt werden. Bisher wurden fünfzehn konvexe Fünfecke gefunden, um die Ebene zu füllen, aber es könnten noch mehr sein. Es ist bewiesen, dass es drei Arten von Sechsecken gibt, mit denen die Ebene ausgefüllt werden kann, aber dass es keine Polygone mit mehr als sechs Winkeln gibt, mit denen dies möglich ist.[2]
Tapetenmustergruppen
Fliesen mit Translationssymmetrie kann kategorisiert werden nach Tapetenmustergruppen. Davon existieren genau 17. Alle siebzehn dieser Muster wurden in der gefunden Alhambra im Granada im Spanien. Von den drei regulären Kacheln fallen zwei in die Kategorie p6m und einer in der Kategorie p4m.
Wenn eine unendliche Figur aus Punkten besteht, die durch Segmente verbunden sind, ist die Anzahl der Segmente gleich der Anzahl der Punkte plus der Anzahl der Polygone, in die die Ebene unterteilt ist. Das Eulereigenschaft einer unendlichen Ebene ist null.
Drei Dimensionen
Es ist möglich Polyeder dreidimensional stapelbar, ohne Platz zu verlieren. Mit einer begrenzten Anzahl von Polyedern, wobei ähnlich auch Polyeder kongruent beinhalten folgende Optionen für eine komplette Raumfüllung:
| raumfüllend in drei Dimensionen' | ||
|---|---|---|
| Nummer | Polyeder | Bild |
| regelmäßige Polyeder und archimedische Körper | ||
| 1 | regelmäßiges Oktaeder und Tetraeder |  |
| 2 | Kuboktaeder und regelmäßiges Oktaeder |  |
| 3 | Würfel |  |
| 4 | rhombischer Kuboktaeder, Würfel und Tetraeder |  |
| 5 | Rhombischer Kuboktaeder, Kuboktaeder und Würfel |  |
| 6 | abgeschnittenes Oktaeder |  |
| 7 | abgeschnittenes Tetraeder und Tetraeder |  |
| 8 | abgeschnittenes Oktaeder, abgeschnittenes Tetraeder und Kuboktaeder |  |
| 9 | großer rhombischer Kuboktaeder, abgeschnittenes Oktaeder und Würfel |  |
| 10 | abgeschnittener Würfel und regelmäßiges Oktaeder |  |
| 11 | abgestumpfter Würfel, großer rhombischer Kuboktaeder und abgestumpfter Tetraeder |  |
| Mehr | ||
| 12 | rhombisches Dodekaeder |  |
| 13 | großer rhombischer Kuboktaeder und acht Prisma |  |
| 14 | Oktaeder Diese Oktaeder sind keine regulären Oktaeder. |  |
| 15 | längliche quadratische Bipyramide Diese länglichen quadratischen Bipyramiden sind nicht angepasst mit dem Johnsom Körper J15. |  |
| und mehr, zum Beispiel mit einem zusammengesetzten Oktaeder |  | |
Ohne Translationssymmetrie
Das Penrose Fliesen sind die bekanntesten Kacheln in zwei Dimensionen ohne Translationssymmetrie, aber sie sind rotationssymmetrisch. Kacheln ohne Translationssymmetrie können verwendet werden als Model für die Struktur von Quasikristalle werden verwendet. Dies wurde 1982 von D Shechtman entdeckt.
Wissenswert
- Das tessella sind auch eine Schmetterlingsgattung.
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