WikiDer > Vertrauensintervall

EIN Konfidenzintervall ist in der Statistik ein Intervallschätzung Für ein Parameter. Im Gegensatz zu einer Punktschätzung ergibt ein Konfidenzintervall ein sehr Intervall zuverlässiger Werte (Schätzungen) des Parameters. Ein Konfidenzintervall ist eine Realisierung eines stochastischen Intervalls, das selbst auch als Konfidenzintervall bezeichnet wird. Die untere und die obere Schranke des stochastischen Intervalls sind stochastische Variablen, die daher bei jeder Wiederholung des Experiments einen (möglicherweise) anderen Wert annehmen. Der zu schätzende Parameter hingegen hat einen unbekannten, aber festen Wert. Von allen Realisierungen des Intervalls enthalten einige den Parameter, andere nicht. Je größer die Zuverlässigkeit, desto "häufiger" enthält das Intervall den Parameter. Die Wahrscheinlichkeit, dass das stochastische Intervall den Parameter enthält, wird als Zuverlässigkeit des Intervalls bezeichnet. Die unteren und oberen Schranken werden aus den Stichprobendaten so berechnet, dass wir stark vermuten, dass der wahre Wert der Bevölkerungsparameter ist dazwischen.

Was ein Konfidenzintervall ist, wird oft aufgrund einer Feinheit missverstanden. Der zu schätzende Parameter hat einen unbekannten, aber festen Wert. Von allen berechneten Realisierungen des Intervalls enthalten einige den Parameter, andere jedoch nicht. Je größer die Zuverlässigkeit, desto mehr der berechneten Intervalle enthalten den Parameter. Die Zuverlässigkeit des Intervalls gibt an, um wie viel Prozent es sich handelt.

Wenn basierend auf einer Stichprobe ein 95 %-Konfidenzintervall für einen Populationsmittelwert ${Anzeigestil mu}$ berechnet, kann man nicht sagen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % ${Anzeigestil mu}$ liegt in diesem Intervall. Letztendlich: ${Anzeigestil mu}$ ist da drin oder ${Anzeigestil mu}$ ist auch nicht drin. Die Bedeutung ist, dass bei Wiederholung des Vorgangs mit neuen (zufällig) Proben vom selben Population, ist zu erwarten, dass 95 % der so berechneten Intervalle den Parameter ${Anzeigestil mu}$ enthalten.

Definition

Das stochastische Variablen${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ Bilden Sie eine Stichprobe aus einer Verteilung mit unbekanntem Parameter ${Anzeigestil-Heta}$. Wie für die Abtastfunktionen${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil V}$ gilt:

${Anzeigestil P(U$,

heißt das (stochastische) Intervall ${Anzeigestil (U,V)}$ ein Konfidenzintervall für ${Anzeigestil-Heta}$ mit Zuverlässigkeit ${Displaystil-Gamma }$ oder ein ${Displaystil-Gamma }$Konfidenzintervall. Darin ist ${Anzeigestil-Heta}$ selbst keine stochastische Variable der einzelnen Ziehungen. Für die Erkenntnisse ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ von jeweils ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil V}$ es gilt die gleiche Wahrscheinlichkeitsaussage wie für ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ natürlich nicht. Sie sagen:

"mit Zuverlässigkeit ${Displaystil-Gamma }$ gilt: ${displaystyle u$".

Wenn aus der Stichprobe die Grenzen des Konfidenzintervalls berechnet werden können, handelt es sich also um Stichprobenfunktionen und damit auch selbst stochastische Größen.

Beispiele

Beispiel 1: Wahlen

Um sich ein Bild von der Wahlbeteiligung bei der Annäherung zu machen Wahlen, ist ein Umfrage unter 1000 zufällig ausgewählten Wählern. Von diesem Stichprobe 700 Befragte sagten, sie würden wählen. Die Wahlbeteiligung ist natürlich ein unbekannter Parameter ${displaystyle p}$. Eine offensichtliche (Punkt-)Schätzung von ${displaystyle p}$ ist: 0,70. Es kann aber auch ein bisschen mehr oder weniger sein. Möglicherweise 0,75 oder 0,60. Ist es plausibel, dass es 0,50 wäre? Um diese Frage zu beantworten, sucht man nach einem Intervall ${displaystyle [p_{bottom},p_{top}]}$, von denen man mit einiger Sicherheit sagen kann, dass ${displaystyle p}$ wird darin liegen. Mit 100% Zuverlässigkeit kann man das sagen ${displaystyle p}$ wird zwischen 0 und 1 liegen, aber das gibt keine Informationen. Aber wie ist die Zuverlässigkeit des Intervalls [0,65; 0,75]? Und wie sollen die Grenzen gewählt werden, wenn ein Konfidenzniveau von 95 % angestrebt wird?

Name ${Anzeigestil X}$ die Zahl der Wahlberechtigten, die angeben, wählen zu gehen. ${Anzeigestil X}$ ist eine stochastische Variable mit a Binomialverteilung mit Parametern ${Anzeigestil n=1000}$ und Chance ${displaystyle p}$ jemand wird wählen. Für die Beispielfunktionen:

${displaystyle U={hat {p}}-2{sqrt {frac {{hat {p}}(1-{hat {p}})}{1000}}}}$

und

${displaystyle V={Hut {p}} 2{sqrt {frac {{Hut {p}}(1-{Hut {p}})}{1000}}}}$,

in welchem ${displaystyle {hat {p}}=X/1000}$ das Probenfraktion ist, gilt:

${Anzeigestil P(U$

Das Intervall ${Anzeigestil (U,V)}$ ist somit ein Konfidenzintervall von 0,95 für ${displaystyle p}$. Weil wir für ${Anzeigestil X}$ den Wert 700 gefunden haben, können wir die Realisierungen sehen ${Anzeigestil u}$ und ${Anzeigestil v}$ von jeweils ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil V}$ Berechnung.

${displaystyle u=0{,}70-2{sqrt {frac {{0{,}70}(1-0{,}70)}{1000}}}=0{,}70-0{,}03 =0{,}67}$

und

${displaystyle v=0{,}70 2{sqrt {frac {{0{,}70}(1-0{,}70)}{1000}}}=0{,}70 0{,}03=0 {,}73}$

Man sagt daher, dass mit Reliabilität (Anmerkung: nicht mit Wahrscheinlichkeit) 0,95 gilt ${Anzeigestil 0{,}67$.

Beispiel 2: Margarine einfüllen

Eine Maschine füllt Kübel Margarine und ist so eingestellt, dass 250 Gramm Margarine kommen. Natürlich ist es nicht möglich, jede Dose mit exakt 250 Gramm zu befüllen. Füllgewicht ist eine stochastische Variable ${Anzeigestil X}$, von dem angenommen wird, dass es sich um ein Normalverteilung hat mit Erwartung${Anzeigestil mu}$ und der Einfachheit halber bekannt Standardabweichung${Displaystil Sigma =2{,}5}$ Gramm. Um die Einstellung der Maschine zu überprüfen, gehen Sie Stichprobe von ${Anzeigestil n=25}$zufällig ausgewählte Wannen und wiegen sie. Die Gewichte von Margarine sind ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{25}}$, eine Zufallsstichprobe von ${Anzeigestil X}$.

Nur um einen Eindruck von der Erwartung zu bekommen ${Anzeigestil mu}$, ist es genug schätzen geben. Es Stichprobenmittelwert

${displaystyle {hat {mu}}={ar {X}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

ist dafür geeignet. Kann man aber auch Grenzen definieren, zwischen denen der Parameter ${Anzeigestil mu}$ mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit? Gibt es ein Konfidenzintervall für ${Anzeigestil mu}$?

Die Gewichte ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{25}}$, die in der Stichprobe gemessen wurden, haben einen Durchschnitt von:

${displaystyle { ar {x}}={frac {1}{n}}Summe _{i=1}^{n}x_{i}=250{,}2}$ Gramm.

Das ist ein mehr oder weniger zufälliger Wert. Es könnten auch 250,4 oder 251,1 Gramm gewesen sein. Ein Wert von 280 Gramm ist dagegen unwahrscheinlich. Es gibt ein ganzes Intervall um den beobachteten Mittelwert von 250,2 mit Schätzungen, die ebenfalls zuverlässig sind, d. h. der Parameter liegt mit ziemlicher Sicherheit in diesem Intervall. Ziemlich sicher, denn absolut sicher ist nur das Intervall (0,), aber das ist trivial.

In unserem Fall können die Grenzen bestimmt werden, indem berücksichtigt wird, dass der Stichprobenmittelwert ${displaystyle {ar {X}}}$ einer normalverteilten Stichprobe selbst normalverteilt ist, mit der gleichen Erwartung expect ${Anzeigestil mu}$, aber mit Standardabweichung ${displaystyle sigma /{sqrt {n}}=0{,}5}$ Gramm. Der standardisierte Mittelwert ist:

${displaystyle Z={frac {{ ar {X}}-mu }{sigma /{sqrt {n}}}}={frac {{ ar {X}}-mu }{0{,}5}}}$,

das selbst von ${Anzeigestil mu}$ abhängig, aber standardnormalverteilt, also mit einer vom zu schätzenden Parameter unabhängigen Verteilung ${Anzeigestil mu}$. Daher gibt es eine Zahl ${Anzeigestil z}$, unabhängig von ${Anzeigestil mu}$, so dass der standardisierte Mittelwert ${Anzeigestil Z}$ mit vorgegebener Chance ${displaystyle 1-alpha }$ zwischen ${displaystyle -z}$ und ${Anzeigestil z}$ Lügen. Die Vertrauenswürdigkeit ${displaystyle 1-alpha }$ gibt an, wie zuverlässig das Intervall gefunden wird. Für die Wahl ${Anzeigestil 1-Alpha =0{,}95}$ man bekommt:

${Anzeigestil P(-zleq Zleq z)=1-alpha =0{,}95}$

Die Nummer ${Anzeigestil z}$ Folgt aus:

${Anzeigestil P(Zleq z)=1-{frac {alpha}{2}}=0{,}975}$,

So ${Anzeigestil z=1{,}96}$, und es gilt:

${displaystyle 0{,}95=1-alpha =P(-zleq Zleq z)=Pleft(-1{,}96leq {frac {{ar {X}}-mu }{sigma /{sqrt {n}}} }leq 1{,}96ight)=}$

${displaystyle =Pleft({ ar {X}}-1{,}96{frac {sigma }{sqrt {n}}}leq mu leq { ar {X}} 1{,}96{frac {sigma }{sqrt {n}}}Nacht)=}$

${displaystyle =Pleft({ ar {X}}-1{,}96 imes 0{,}5leq mu leq { ar {X}} 1{,}96 imes 0{,}5ight)=}$

${displaystyle =Pleft({ ar {X}}-0{,}98leq mu leq { ar {X}} 0{,}98ight)}$

Die Interpretation lautet: mit Wahrscheinlichkeit 0,95 wird ein Intervall mit stochastischen Grenzen gefunden

${displaystyle { ar {X}}-0{,}98}$

und

${displaystyle { ar {X}} 0{,}98}$,

wahr ${Anzeigestil mu}$ zwischen.

Bei jeder Wiederholung der Messungen wird ein anderer Wert für den Stichprobenmittelwert gefunden ${displaystyle {ar {X}}}$ finden. In 95 % der Fälle, ${Anzeigestil mu}$ liegen zwischen den mit diesem Durchschnitt berechneten Grenzen, jedoch nicht in 5 % der Fälle. Das aktuelle Konfidenzintervall wird durch Eingabe der Werte der gefundenen Gewichte berechnet. Das 0,95-Konfidenzintervall für ${Anzeigestil mu}$ ist:

${displaystyle ({ar {x}}-0{,}98;{ar {x}} 0{,}98)=(250{,}2-0{,}98;250{,}2 0{, }98)=(249{,}22;251{,}18)}$

In der Abbildung unten sind 50 Realisierungen eines Konfidenzintervalls mit 95 % Konfidenz für einen unbekannten Parameter ${Anzeigestil mu}$ angegeben.

Die meisten, durchschnittlich 95 %, dieser Intervalle enthalten den Parameter. Manche hingegen nicht. In der Praxis haben wir es mit einem dieser Intervalle zu tun. Wir wissen nicht, was das ist. Als wir die Stichprobe nahmen, hatten wir eine Chance von 95 %, ein Intervall zu finden, das den Parameter enthält. Daher sagen wir, dass der Parameter mit 95 % Konfidenz in diesem Intervall liegt. Damit meinen wir nichts weiter.

Konfidenzintervalle bei verschiedenen Verteilungen

Normalverteilung

spät ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ eine Zufallsstichprobe aus dem Normalverteilung${Anzeigestil N(mu, Sigma ^{2})}$ sein, ${displaystyle {overline {X}}}$ es Stichprobenmittelwert und ${Displaystil S^{2}}$ das Abweichung.

Mit bekannter Abweichung ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ wird ein ${Anzeigestil (1-Alpha)}$-Konfidenzintervall für ${Anzeigestil mu}$ gegeben von:

${displaystyle mu ={overline {X}}pm z_{alpha /2}{frac {sigma }{sqrt {n}}}}$,

mit ${displaystyle z_{alpha /2}}$ es ${Anzeigestil (1-Alpha/2)}$-Bruchteil der Standardnormalverteilung, also ${displaystyle Phi (z_{alpha /2})=1-{ frac {1}{2}}alpha }$.

wenn ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ ist nicht bekannt, es wird geschätzt, und es wird ${Anzeigestil (1-Alpha)}$-Konfidenzintervall für ${Anzeigestil mu}$:

${displaystyle mu ={overline {X}}pm t_{n-1,alpha /2}{frac {S}{sqrt {n}}}}$,

mit ${Displaystil t_{n-1,alpha /2}}$ es ${Anzeigestil (1-Alpha/2)}$-Bruchteil der ${Anzeigestil {m {t}}(n-1)}$Verteilung.

EIN ${Anzeigestil (1-Alpha)}$-Konfidenzintervall für ${Displaystil-Sigma ^{2}}$ ist:

${displaystyle {frac {n-1}{c_{2}}}S^{2}$

mit ${displaystyle c_{1}}$ und ${displaystyle c_{2}}$ bzw. die ${displaystyle alpha /2}$- und der ${Anzeigestil (1-Alpha/2)}$-Bruchteil der ${Displaystil-Chi ^{2}(n-1)}$Verteilung.

Exponentialverteilung

spät ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ sei eine Zufallsstichprobe aus dem Exponentialverteilung mit Erwartung${Anzeigestil mu}$ und ${displaystyle {overline {X}}}$ der Stichprobenmittelwert.

EIN ${Anzeigestil (1-Alpha)}$-Konfidenzintervall für ${Anzeigestil mu}$ wird gegeben von:

${displaystyle {frac {2n}{c_{2}}},{overline {X}}$,

mit ${displaystyle c_{1}}$ und ${displaystyle c_{2}}$ bzw. die ${displaystyle alpha /2}$- und der ${Anzeigestil (1-Alpha/2)}$-Bruchteil der ${displaystyle chi^{2}(2n)}$Verteilung.

Binomialverteilung

spät ${Anzeigestil X}$binomialverteilt mit Parametern sein ${displaystyle n}$ und ${displaystyle p}$, und ${displaystyle {Hut {p}}=X/n}$ ein Schätzer von ${displaystyle p}$.

Für relativ große ${displaystyle n}$ wird eine ungefähre ${Anzeigestil (1-Alpha)}$-Konfidenzintervall für ${displaystyle p}$ gegeben von:

${displaystyle p={hat {p}}pm z_{alpha /2},{sqrt {frac {{hat {p}}(1-{hat {p}})}{n}}}}$,

mit ${displaystyle z_{alpha /2}}$ es ${Anzeigestil (1-Alpha/2)}$-Bruchteil der Standardnormalverteilung, also ${displaystyle Phi (z_{alpha /2})=1-{ frac {1}{2}}alpha }$.

Poisson-Verteilung

spät ${Anzeigestil X}$Giftverteilt mit Erwartungswert sein ${Anzeigestil mu}$. Aus dem Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen der Poisson-Verteilung und der Chi-Quadrat-Verteilung kann folgendes tun ${Anzeigestil (1-Alpha)}$-Konfidenzintervall für ${Anzeigestil mu}$ abgelenkt sein:

${displaystyle { frac {1}{2}}chi ^{2}({ frac {1}{2}}alpha ,2X)leq mu leq { frac {1}{2}}chi ^{2}(1- { frac {1}{2}}alpha ,2X 2)}$,

mit ${Displaystil-Chi ^{2}(p,m)}$ es ${displaystyle p}$-Bruchteil der ${Displaystil-Chi ^{2}(m)}$Verteilung.

Webseiten

• (und) Konfidenzintervalle interpretieren. Visualisierung simulierter Konfidenzintervalle