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In dem algebraische Topologie, eine Unterregion der Mathematik, ist der Betti-Nummer von a topologischer Raum, erklärt intuitiv unter anderem die maximale Anzahl von Schnitten, die gemacht werden können, ohne dass sich der Raum in zwei Teile teilt. Diese Nummer heißt zum Beispiel zuerst Betti Nummer. Es wurde eine Reihe von Betti-Zahlen definiert. Der Begriff "Betti-Nummer" wurde eingeführt von Henri Poincare, die damit Enrico Betti wollte ehren.

Jede Betti-Zahl ist entweder a natürliche Zahl oder unendlich. Für die gängigsten Bereiche, wie z kompaktSorten, endlich simpliziale Komplexe oder CW-Komplexe, die Folge der Betti-Zahlen besteht aus natürlichen Zahlen, von denen nur endlich viel ungleich 0.

Definition

Für den topologischen Raum X ist der k-die Betti-Nummer b_k(X) für ein nicht-negatives gerade Zahlk definiert als die Rang des abelsche Gruppehuh_k(X), das k-das Homologiegruppe von X.

Äquivalent dazu ist die Definition des k-die Betti-Nummer als Abmessungen der Homologiegruppe

${displaystyle H_{k}(X;mathbb{Q})}$,

wenn Vektorraum Über ${displaystyle mathbb {Q} }$.

Der universelle Koeffizientensatz zeigt, dass diese Definitionen äquivalent sind.

Die zweite Form der Definition eignet sich für die Verallgemeinerung des Begriffs der Betti-Zahl durch anstelle der Rationale Zahlen eine zufällige Körper (Feld) f erlauben. Es k-die Betti-Nummer b_k(X,F) mit Koeffizienten im f ist dann definiert als die Dimension der Homologiegruppe huh_k(X,F) als Vektorraum über f.

Beispiel: die erste Betti-Zahl in der Graphentheorie

In der topologischen Graphentheorie ist die erste Betti-Zahl von a AnzahlG mit neinKnoten, ichSeiten und kverbunden Komponenten gleich

${Anzeigestil m-n k}$

Dies kann mit volle Einweisung zur Zahl Seiten nachgewiesen werden. Eine neue Seite macht entweder die Nummer 1-Fahrräder erhöhen oder die Anzahl der zugehörigen Komponenten sinkt.

Eigenschaften

Die (rationalen) Betti-Zahlen b_k(X) erklären keine Torsion in den Homologiegruppen, aber Betti-Zahlen sind sehr nützliche grundlegende topologische Invarianten. In den intuitivsten Begriffen ermöglichen Betti-Zahlen die Zahl Löcher unterschiedlicher Dimensionen. Für ein Kreis die erste Betti-Zahl ist 1. Für a torus die erste Betti-Zahl ist doppelt so viele Löcher in diesem Toroid.

Im Fall eines endlichen simplizialen Komplexes sind die Homologiegruppen huh_k(X, z) sind endlich erzeugt und haben somit einen endlichen Rang. Die Gruppe ist also 0, wenn k ist größer als die obere Dimension eines Simplex von X.

Für einen endlichen CW-Komplex k wir haben

${displaystyle chi (K)=sum _{i=0}^{infty}(-1)^{i}b_{i}(K,F),,}$

wahr ${Anzeigestil-Chi (K)}$ das Euler-Charakteristik von k und jedes Feld f zeigt an.

Für jeweils zwei Leerzeichen X und Ja wir haben

${Anzeigestil P_{(}X imes Y)=P_{X}P_{Y},,}$

wahr p_X es Poincaré-Polynom von X bezeichnet (oder allgemeiner die Poincaré-Reihe für unendlichdimensionale Räume), d Erzeugungsfunktion der Betti-Nummern von X:

${displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X) b_{1}(X)z b_{2}(X)z^{2} cdots }$,

sehen Satz von Kunneth.

wenn X ein nein-dimensional Vielfalt ist, es existiert unter Bedingungen eine geschlossene und orientierte Varietät, siehe Poincaré-Dualität, ein Symmetrie Das k und nein-k für jedes k Austausch:

${Anzeigestil b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}$.

Die Abhängigkeit vom Feld f läuft nur durch die charakteristisch. Wenn die Homologiegruppen torsionsfrei sind, sind die Betti-Zahlen unabhängig von f. Die Verbindung zwischen p-Torsion und die Betti-Zahlen für das Merkmal p, ist für p ein Primzahl, wird im Detail durch den universellen Koeffizientensatz gegeben.

Beispiele

1. Die Betti-Zahlenfolge für einen Kreis ist 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   das Poincaré-Polynom ist

   ${Anzeigestil 1x,}$.

2. Die Betti-Zahlenfolge für einen Zwei-Torus ist 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...;

   das Poincaré-Polynom ist

   ${Anzeigestil (1x)^{2}=1 2x x^{2},}$.

3. Die Betti-Zahlenfolge für einen Drei-Torus ist 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   das Poincaré-Polynom ist

   ${Anzeigestil (1x)^{3}=1 3x 3x^{2} x^{3},}$.

4. Ebenso für eine voor nein-torus,

   das Poincaré-Polynom ist

   ${Anzeigestil (1x)^{n},}$ (bis zum Der Satz von Kunnetheth), also sind die Betti-Zahlen die Binomialkoeffizienten des Poincaré-Polynoms.