WikiDer > Cayley-Dickson-Konstruktion

In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, erzeugt die Cayley-Dickson-Konstruktion, benannt nach Arthur Cayley und Leonard Eugene Dickson, ein Warteschlange von Algebren über die Körper des reale Nummern, jeweils mit a Abmessungen gleich der doppelten Dimension des vorherigen. Die dabei erzeugten Algebren heißen Cayley-Dickson-Algebren. Die Konstruktion ist speziell für die sukzessive Generation der komplexe Zahlen, das Quaternionen und der Oktonionen.

Definition

Die Konstruktion besteht darin, dass bestimmte hyperkomplexe Zahlen Paare werden als neue hyperkomplexe Zahlen gebildet. Addition und Multiplikation sind wie folgt definiert:

Für die Paare von hyperkomplexen Zahlen ${Anzeigestil (a,b)}$ und ${Anzeigestil (c, d)}$ ist:

${Anzeigestil (a, b) (c, d) = (a c, b d)}$

und

${Anzeigestil (a,b)cdot (c,d)=(ac-d^{*}b,da bc^{*})}$,

in welchem ${displaystyle x^{*}=(x_{1},-x_{2})}$ die Konjugierte der hyperkomplexen Zahl ${displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ schlägt vor. Wirklich ${Anzeigestil x}$ ist ${Anzeigestil x^{*}=x}$.

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Faktoren wichtig, da die Multiplikation nicht notwendig ist kommutativ ist.

Alternative

Als alternative Definition kann ein neuer Typ einer hyperkomplexen Zahl definiert werden, indem eine neue Einheit zu bestehenden hyperkomplexen Zahlen hinzugefügt wird ${Anzeigestil Varepsilon }$ addieren und die Summen ${displaystyle a b,varepsilon }$ als neue hyperkomplexe Zahlen mit der Addition von

${Anzeigestil (a b,varepsilon) (c d,varepsilon)=(a c) (b d),varepsilon}$

und als Ehrenmultiplikation

${displaystyle (a b,varepsilon)cdot (c d,varepsilon)=(ac-d^{*}b) (da bc^{*}),varepsilon.}$

Bei dieser Konstruktion ist es leicht zu erkennen:

${Displaystil-Varepsilon ^{2}=-1}$

und dass die neue Einheit ${Anzeigestil Varepsilon }$ antikommutiert mit der imaginären Einheit ${displaystyle varepsilon_{0}}$ des Ausgabesystems:

${displaystyle varepsilon cdot varepsilon _{0}=-varepsilon _{0}cdot varepsilon }$.

Die Beziehung zwischen den beiden Definitionen wird durch die Beziehung gebildet:

${Displaystil-Varepsilon = (0,1)}$.

Die Cayley-Dickson-Konstruktion definiert a Involution auf der direkten Summe einer Algebra mit sich selbst. Das Produkt eines Elements und seines Konjugierten (oder manchmal seiner Quadratwurzel) wird zu Norm erwähnt.

Die Symmetrien der reellen Zahlen verschwinden, wenn die Cayley-Dickson-Konstruktion wiederholt angewendet wird: zuerst verliert man die Ordnung, dann die Kommutativität der Multiplikation und schließlich Assoziativität der Multiplikation.

Allgemeiner ausgedrückt transformiert eine Cayley-Dickson-Konstruktion jede Algebra mit Involution in eine andere Algebra mit Involution um das Doppelte der Dimension.^[1]

Anwendungen

Von echt zu komplex

In bekannter Weise a komplexe Zahl als Paar definiert werden reale Nummern${Anzeigestil (a,b)}$. Denn für reelle Zahlen ${displaystyle a^{*}=a}$ und die Multiplikation kommutativ ist, gilt:

${Anzeigestil (a, b) (c, d) = (a c, b d)}$

und

${Anzeigestil (a,b)cdot (c,d)=(ac-bd,ad bc)}$

Mit ${Anzeigestil i=varepsilon =(0,1)}$ man bekommt die übliche darstellung.

Von den komplexen Zahlen zu den Quaternionen

Die komplexen Zahlen haben im Allgemeinen nicht mehr die Eigenschaft, ihren Konjugierten gleich zu sein. Die Multiplikation ist jedoch immer noch kommutativ. Eine Quaternion als Paar komplexer Zahlen ${Anzeigestil (a,b)}$ erfüllt somit die Berechnungsregeln:

${Anzeigestil (a, b) (c, d) = (a c, b d)}$

und

${displaystyle (a,b)cdot (c,d)=(ac-bd^{*},ad bc^{*})}$

Mit ${Anzeigestil j=varepsilon =(0.1)}$ und ${displaystyle k=icdot j}$ man bekommt die übliche darstellung. Die Multiplikation von Quaternionen ist nicht mehr kommutativ, aber assoziativ.

Von den Quaternionen zu den Oktonionen

Ganz analog können die Oktonionen als Quaternionenpaare gebildet werden. Auch die Assoziativität der Multiplikation geht verloren. Die Oktonionen bilden a Alternative Körper/Feld.

In der üblichen Darstellung ${Anzeigestil l=varepsilon =(0,1)}$.

Des Weiteren

Die Anwendung der Konstruktion auf die Oktonionen ergibt die sedenionen. Sie sind nicht mehr a Divisionalgebra. Nun, die Sedenions Macht-Assoziativ, eine Eigenschaft, die auch bei weiterer Anwendung erhalten bleibt.

Externer Link

• (und) Hyperjeff, Skizzieren der Geschichte der hyperkomplexen Zahlen (1996–2006).

Fußnoten